Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013
.pdf
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Опишем прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Прямые
((
I: |
xa + yb = 2; |
II: |
xa yb = 2; |
( 2 + 2 = 0): |
|
xa yb = z; |
|
xa + yb = z |
6 |
лежат на гиперболическом параболоиде, составляя два семейства прямолинейных образующих. Легко видеть, что через каждую точку параболоида проходит две прямые, по одной из каждого семейства. Прямые одного семейства лежат в параллельных плоскостях. Прямые разных семейств пересекаются. Докажем, что других прямых на гиперболическом параболоиде нет. Для этого достаточно установить, что через точку на гиперболическом параболоиде проходит не более двух прямых, лежащих на этой поверхности.
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Пусть (x0; y0; z0) произвольная точка на параболоиде. Предположим, что прямая x = x0 + ax t, y = y0 + ay t,
z = z0 + az t лежит на параболоиде. Тогда при любом t
|
|
(x0 + ax t)2 |
|
|
(y0 + ay t)2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(z0 + az t); |
|||
|
a2 |
a2 |
|
|
|
b2 |
|
||||||||||
|
b2 !t2 + 2 a2 |
b2 |
az t = 0: |
||||||||||||||
|
ax2 |
|
ay2 |
|
|
|
|
|
|
|
ax x0 |
|
|
ay y0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
( |
a2 |
|
|
|
ay2 |
|
|
|
|
||
Это возможно, если |
aax |
2x0 |
aby y20 az = 0: |
||||||||||||||
|
ax2 |
b2 = 0; |
|
|
С точностью до |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пропорциональности имеется не более двух решений этой системы уравнений (относительно неизвестных ax , ay , az ). Тем самым, не более двух прямых, лежащих на гиперболическом параболоиде, проходит через заданную точку этого параболоида.
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)