Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / Voprosy

НГУ ММФ 1 курс 2 поток

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1 семестр (2012/13)

Лектор: доц. А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Вопросы к экзамену

Глава 1.

1.1.Векторное пространство. Примеры векторных пространств. Вещественное n-мерное арифметическое векторное пространство Rn. Простейшие следствия аксиом векторного пространства (доказательство одного пункта леммы)[1.4].

1.2.Линейная комбинация векторов. Нетривиальные и тривиальные линейные комбинации векторов. Линейная зависимость и независимость конечного набора и конечного множества векторов. Линейная зависимость и независимость бесконечного семейства и бесконечного множества векторов.

1.3. Лемма о выражении вектора линейно зависимого семейства (множества) векторов[1.18]. Коллинеарные и компланарные векторы. Лемма о выражении вектора линейно зависимого конечного

набора векторов[1.21]. Лемма о единственности разложения по линейно независимой последовательности векторов[1.22].

1.4.Теорема о замене[1.23].

1.5.Размерность векторного пространства. Лемма о разложении произвольного вектора конечномерного пространства[1.25]. Базис векторного пространства. Лемма о базисе[1.27]. Лемма о дополнении до базиса[1.29].

1.6.Координаты вектора. Координатное отображение векторного пространства. Теорема о координатном изоморфизме векторного пространства[1.33]. Линейное отображение векторных пространств. Линейный изоморфизм векторных пространств. Изоморфные векторные пространства.

1.7.Аффинное пространство. Примеры аффинных пространств. Вещественное n-мерное арифметическое аффинное пространство Rn. Размерность аффинного пространства.

1.8.Аффинная система координат. Радиус-вектор точки. Координаты точки. Координатное отображение аффинного пространства. Теорема о координатном изоморфизме аффинных пространств[1.47]. Аффинное отображение аффинных пространств. Линейная часть (индуцированное отображение) для аффинного отображения. Изоморфизм аффинных пространств. Изоморфные аффинные пространства.

Глава 2.

2.1.Линейная оболочка множества. Лемма о замкнутости относительно операций сложения и умножения на скаляр линейных оболочек[2.2]. Векторное подпространство. Лемма о размерности векторного подпространства[2.6].

2.2.Аффинноеподпространство. Ассоциированное векторноеподпространство каффинномуподпространству. Параллельные аффинному подпространству векторы. Параллельные аффинные подпространства.

2.3.Прямая, луч, отрезок. Параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в данном отношении. Лемма о делении отрезка в данном отношении[2.23]. Точка, лежащая между двумя заданными точками. Условия параллельности и совпадения двух прямых.

2.4.Лемма о параметрическом уравнении аффинного подпространства[2.27]. Матрица перехода от базиса к базису. Следствие о формуле перехода от одной аффинной системы координат к другой[2.28]. Параметрическое уравнение прямой. Координатное условие параллельности двух прямых. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

2.5.Гиперплоскость. Примеры гиперплоскостей. Теорема об уравнении гиперплоскости[2.33]. Примеры уравнений гиперплоскостей. Общее уравнение прямой на плоскости и общее уравнение двумерной плоскости в трёхмерном пространстве. Каноническое уравнение прямой. Координатный критерий для

базиса[2.38]. Лемма о параллельности вектора и гиперплоскости[2.39]. Лемма о параллельности прямой и гиперплоскости[2.40].

2.6. Лемма о пересечении отрезка с гиперплоскостью[2.41]. Полупространства. Примеры полупространств.

Глава 3.

3.1.Аксиомы скалярного произведения векторов. Конечномерное евклидово векторное пространство. Норма (длина) вектора, порождённая скалярным произведением. Лемма о свойствах нормы[3.5]. Неравенство Минковского. Неравенство Коши Буняковского. Пример скалярного произведения. Стандартное скалярное произведение в Rn. Равенство параллелограмма (без доказательства).

3.1.Метризованное аффинное пространство[3.11]. Конечномерное евклидово аффинное пространство. Согласованное со скалярным произведением расстояние (метрика). Лемма о свойствах метрики[3.14]. Пример метрики: евклидово расстояние в Rn.

3.2.Угол между векторами в вещественном векторном пространстве со скалярным произведением. Ортогональность векторов. Теорема Пифагора[3.18]. Ортогональный набор векторов. Ортонормированный набор векторов. Символ Кронекера. Лемма о линейной независимости ортонормированного набора векторов[3.22]. Лемма о вычислении скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе[3.23]. Прямоугольная система координат. Лемма о вычислении расстояния между точками через их прямоугольные координаты[3.25].

3.3.Теорема об ортогонализации Грама Шмидта[3.26]. Следствие о существовании ортонормированного базиса в конечномерном евклидово векторном пространстве[3.28].

3.4.Матрица Грама набора векторов. Матрицы: симметрические, неотрицательно и положительно определенные. Лемма о симметричности и неотрицательной определенности матрицы Грама[3.34].

Матрица Грама

1

ортонормированного набора векторов[3.35]. Лемма о вычислении скалярного произведения через координаты произвольного базиса[3.36].

3.5.Матрица перехода от одного набора векторов к другому. Лемма о выражении матрицы Грама набора векторов через матрицу перехода[3.38]. Ортогональная матрица. Следствие об ортогональности матрицы перехода между ортонормированными наборами векторов[3.40]. Лемма о невырожденности матрицы Грама для линейно независимого набора векторов[3.41]. Лемма о произведении матриц перехода[3.42]. Лемма о выражении матрицы Грама одного набора векторов через матрицу Грама другого набора векторов[3.43].

3.6.Скалярное произведение, заданное базисом. Теорема о задании скалярного произведения базисом[3.46]. Теорема о равенстве двух скалярных произведений, заданных базисами[3.47].

3.7.Пересечение и сумма векторных подространств. Теорема о размерности суммы векторных подространств (без доказательства)[3.51]. Прямая сумма векторных подространств. Теорема о параллельном проектировании[3.53]. Ортогональное дополнение к подпространству. Теорема об ортогональном дополнении

кподпространству[3.55]. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Оператор ортогонального проектирования на подпространство.

3.8.Расстояние от точки до множества. Вектор, ортогональный к аффинному подпространству. Ортогональная проекция точки на аффинное подпространство. Теорема о расстоянии от точки до аффинного подпространства[3.62].

3.9.Вектор нормали к гиперплоскости. Лемма о векторе нормали к гиперплоскости[3.64]. Теорема о расстоянии от точки до гиперплоскости[3.65].

Глава 4.

4.1.Непрерывность Rn-значной функции. Непрерывность функции со значениями в конечномерном векторномпространстве. Лемма о корректности определения непрерывности векторнозначных функций[4.3]. Лемма о биекции между множеством базисов и множеством невырожденных матриц[4.5]. Непрерывная деформация невырожденных матриц. Непрерывная деформация базисов. Эквивалентность базисов. Лемма об отношении эквивалентности базисов[4.10]. Эквивалентность невырожденных матриц. Критерий эквивалентности базисов (теорема с доказательством)[4.13]. Следствие о классах эквивалентности базисов[4.14]. Ориентированное векторное пространство. Положительно и отрицательно ориентированные базисы. Пример ориентации. Стандартная ориентация Rn. Ориентация ¾физического¿ трёхмерного пространства. Правило ¾правого буравчика¿.

4.2.Параллелепипед в векторном пространстве. Объём векторного параллелепипеда (набора векторов). Лемма об объёме линейно зависимого набора векторов[4.21].

4.3.Лемма о выражении объёма набора векторов через определитель матрицы перехода от полученного методом ортогонализации Грама Шмидта ортонормированного набора к исходному набору векторов[4.22]. Модуль определителя ортогональной матрицы[4.24].

4.3.Теорема о выражении объёма набора векторов через определитель матрицы перехода[4.25]. Следствие

овыражении отношения объёма двух наборов векторов через определитель матрицы перехода[4.26]. Следствие о выражении объёма набора векторов через определитель матрицы перехода в конечномерном пространстве (без доказательства)[4.27].

4.3.Теорема о выражении объёма через определитель матрицы Грама[4.29]. Следствие о выражении объёма набора векторов через определитель произведения матрицы перехода со своей транспонированной в конечномерном пространстве (без доказательства)[4.30].

4.4.Параллелепипед в аффинном пространстве. Объём аффинного параллелепипеда. Формула для нахождения расстояния от точки до аффинного подпространства. Аффинная оболочка точек. Аффинно независимые точки. Симплексы. Объём симплекса. Формула для вычисления площади треугольника в R2. Формула для вычисления площади треугольника в произвольном метризованном аффинном пространстве. Формула расстояния от точки до аффинного подпространства в произвольном метризованном аффинном пространстве.

4.5.Смешанное (косое) произведение (ориентированный объём) в ориентированном конечномерном евклидово векторном пространстве. Лемма о выражении смешанного произведения через определитель матрицы перехода[4.50]. Лемма о полилинейности и кососимметричности смешанного произведения[4.51]. Лемма об изменении смешанного произведения при перестановках векторов[4.52]. Следствие об изменении смешанного произведения при перестановках векторов в трёхмерном пространстве[4.53].

4.5.Векторное произведение в трёхмерном пространстве[4.54]. Лемма о векторном произведении коллинеарных векторов (без доказательства)[4.56]. Лемма о выражении смешанного произведения через

векторное и скалярное произведение[4.58]. Лемма о выражении вектора b через векторы a1 и a2, если выполнено соотношение (a1; a2; c) = (b; c) для любого вектора c [4.60]. Лемма о координатах векторного произведения[4.61]. Следствие о векторном произведении векторов ортонормированного базиса (без доказательства)[4.62].

2