Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_1_glava_2012-2013

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства. § 1.0. Векторы в школе.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

§ 1.1. Аксиомы векторного пространства.

Определение 1.1 (векторного пространства)

Множество V с операциями +: V V ! V (сложения) и: R V ! V (умножения на число, на скаляр) называется

векторным (линейным) пространством над (полем) R (или вещественным векторным (линейным) пространством), если для всех a; b; c 2 V и ; 2 R выполнены аксиомы:

(V1) a + b = b + a (коммутативность сложения);

(V2) a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность сложения); (V3) существует 0 2 V такой, что a + 0 = 0 + a = a (существование нуля, нулевого вектора);

(V4) существует a 2 V такой, что a + ( a) = ( a) + a = 0 (существование противоположного элемента, обратного вектора);

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

(V5) ( ) a = ( a) (ассоциативность умножения); (V6) 1 a = a (единица умножения);

(V7) ( + ) a = a + a (первая аксиома дистрибутивности);

(V8) (a + b) = a + b (вторая аксиома дистрибутивности).

Элементы векторного пространства V называются векторами.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Пример 1.2 (векторных пространств)

1)Пространство векторов с фиксированным началом в трёхмерном пространстве (на плоскости, на прямой).

2)Пространство свободных векторов в трёхмерном пространстве (на плоскости, на прямой).

3)n-мерное вещественное арифметическое (координатное)

векторное пространство Rn.

Для ( 1; : : : ; n); ( 1; : : : ; n) 2 Rn и 2 R cложение векторов

( 1; : : : ; n) + ( 1; : : : ; n) = ( 1 + 1; : : : ; n + n) и

умножение вектора на скаляр ( 1; : : : ; n) = ( 1; : : : ; n). n-мерные вектор-строки ( 1; : : : ; n).

0 1

1

n-мерные вектор-столбцы: B ... C.

@ A

n

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Упражнение 1.3 ( )

Проверить аксиомы векторного пространства для пространств из примера 1.2.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Лемма 1.4 (простейшие следствия аксиом вект.пр-ва)

Пусть V векторное пространство. Тогда

1)нулевой вектор 0 единствен;

2)для каждого вектора a 2 V обратный вектор a единствен;

3)для любых векторов a; b 2 V уравнение x + a = b относительно переменной x имеет единственное решение

x = b + ( a) (далее, вместо b + ( a) будем писать b a);

4)0a = 0 для каждого вектора a 2 V ;

5)0 = 0 для каждого числа 2 R;

6)( 1)a = a для каждого вектора a 2 V ;

7)сумма любого числа векторов не зависит от расстановки скобок, т. е. от порядка, в котором она вычисляется (в силу этого утверждения в сумме любого числа векторов скобки можно не писать).

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Упражнение 1.5 ( )

Доказать утверждения 2)–6) леммы 1.4.

Упражнение 1.6 ( )

Доказать утверждение 7) леммы 1.4.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

§ 1.2. Линейная зависимость и независимость векторов.

Пусть V вещественное векторное пространство.

Определение 1.7 (линейной комбинации векторов)

Пусть a1; : : : ; ak 2 V , 1 : : : ; k 2 R. Вектор

a = 1a1 + : : : + k ak называется линейной комбинацией векторов a1; : : : ; ak с коэффициентами 1; : : : ; k . Говорят также, что вектор a линейно выражается через векторы a1; : : : ; ak с коэффициентами 1; : : : ; k .

Определение 1.8 (нетривиальной линейной комбинацией)

Линейная комбинация 1a1 + : : : + k ak называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов

1; : : : ; k отличен от нуля. В противном случае линейная комбинация называется тривиальной.

Тривиальная линейная комбинация равна нулю.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Определение 1.9 (линейно (не)зависимости конечного набора векторов)

Конечный набор (конечная последовательность, конечное семейство) векторов a1; : : : ; ak называется линейно зависимым, если существует нулевая (равная нулю) нетривиальная линейная комбинация этих векторов, т. е. если найдутся числа1; : : : ; k 2 R, не все равные нулю, такие, что

1a1 + : : : + k ak = 0. В противном случае набор векторов a1; : : : ; ak называется линейно независимым. По определению считаем, что пустой набор векторов линейно независим, а нулевой вектор единственным образом линейно выражается через пустой набор векторов.