Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Простейший многочлен (Ik ) не содержит переменных

xk+1; : : : ; xn. По следствию 8.17 для простейших многочленов типа (Ik ) инвариантами являются Kl при l k, при этом

Kl (Ik ) = 0 при l > k, Kk (Ik ) = 1 k . Простейший многочлен (IIk ) не содержит переменных xk+2; : : : ; xn. По следствию 8.17 для простейших многочленов типа (IIk )

инвариантами являются Kl при l k + 1, при этом Kl (IIk ) = 0 при l > k + 1, Kk+1(IIk ) = 1 k 2 6= 0.

Теорема 8.18 (об инвариантности полуинвариантов)

Пусть

F 2 R[x1; : : : ; xn], deg F = 2, Ik (F ) 6= 0, Il (F ) = 0 при k < l n. Тогда Kl являются инвариантами для F при k < l n. Если при этом Kk+1(F ) = 0, то и Kk является инвариантом для F .

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.6. Определение простейшего многочлена по инвариантам.

Теорема 8.19 (об определении простейшего многочлена по инвариантам)

Многочлен F 2 R[x1; : : : ; xn], deg F = 2, может быть приведён ортогональной заменой переменных лишь к одному из простейших многочленов. Этот простейший многочлен имеет тип (Ik ), если Ik (F ) 6= 0, Il (F ) = 0 при k < l n, Kk+1(F ) = 0; при этом коэффициент этого многочлена равен Kk (F )=Ik (F ). Простейший многочлен имеет тип (IIk ), если Ik (F ) 6= 0,

Il (F ) = 0 при k < l n, Kk+1(F ) 6= 0; при этом коэффициент

q

этого многочлена равен Kk+1(F ) (знак определяется из

Ik (F )

условия 1 < 0).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.7. Теоремы о единственности канонических уравнений.

Теорема 8.20 (о приведении уравнения второй степени к единственному каноническому уравнению)

Каждое уравнение второй степени от двух и трёх переменных может быть приведено операциями ортогональной замены переменных и деления на скаляр только к одному каноническому уравнению.

Упражнение 8.21 ( )

Докажите теорему 8.20.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.22 (о единственности канонического уравнения для допустимых алгебраических поверхностей и кривых второго порядка)

Каждая допустимая алгебраическая поверхность второго порядка в трёхмерном евклидово аффинном пространстве (допустимая алгебраическая кривая второго порядка на евклидовой плоскости) может быть задана в подходящей прямоугольной системе координат каноническим уравнением. Это уравнение для каждой поверхности (кривой) единственно.

Упражнение 8.23 ( )

Докажите теорему 8.22.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.8. Определение канонического уравнения кривой и поверхности второго порядка по инвариантам.

n = 2:

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Выясним, что достаточно знать об инвариантах многочлена F , чтобы определить к какому из канонических уравнений можно преобразовать уравнение F = 0 с помощью преобразований ортогональной замены переменных и деления уравнения на скаляр. Рассмотрим случаи n = 2 и n = 3.

Случай n = 2. Уравнение F = 0 ортогональной заменой переменных преобразуется к уравнению 1x2 + 2y2 + = 0 тогда и только тогда, когда I2 6= 0. При этом 1 2 = I2,

1 + 2 = I1, = I3=I2. Коэффициенты 1 и 2 имеют одинаковые знаки тогда и только тогда, когда I2 > 0. При этом знаки i отличаются от знака в том и только в том случае, когда I1I3 < 0. Тем самым, необходимым и достаточным условием приведения уравнения к каноническому уравнению эллипса являются условия I2 > 0, I1I3 < 0.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Аналогично разбираются остальные канонические уравнения кривых. Результаты собраны в следующей таблице.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Рассмотрим ещё случай однополостного гиперболоида. Для однополостного гиперболоида все i отличны от нуля и имеют разные знаки. Поэтому I3 6= 0. Если два i положительны, то I3 < 0 и, следовательно, коэффициент = I4=I3 имеет знак, противоположный знаку I4. Поэтому < 0 при I4 > 0. Если одно i положительно, а два i отрицательны, то I3 < 0 и, следовательно, > 0 при I4 > 0. Тем самым поверхность является однополостным гиперболоидом тогда и только тогда, когда I3 6= 0, I4 > 0 и (I2 0 или I1I3 0).