Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_2_glava_2012-2013

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства. § 2.1. Векторные подпространства.

Определение 2.1 (линейной оболочки)

Пусть V векторное пространство и ? 6= A V . Множество

L(A) = f 1a1 + : : : + k ak : a1; : : : ; ak 2 A; 1; : : : ; k 2 R; k 2 Ng

всевозможных линейных комбинаций векторов множества A называется линейной оболочкой множества A.

Лемма 2.2 (о замкнутости линейной оболочки)

Пусть V векторное пространство и A V . Тогда линейная оболочка L(A) замкнута относительно операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр, т. е. для a; b 2 L(A) и ; 2 R имеем a + b 2 L(A).

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Определение 2.3 (векторного подпространства)

Пусть V векторное пространство. Непустое подмножество V1 V называется векторным подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число, т. е. для a; b 2 V1 и ; 2 R имеем a + b 2 V1.

Упражнение 2.4 ( )

Показать, что множество f0g, состоящее только из нулевого вектора пространства V , является подпространством пространства V . Оно называется нулевым подпространством и обозначается через 0.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Упражнение 2.5 ( )

Показать, что векторное подпространство V1 само является векторным пространством относительно операций из V .

Лемма 2.6 (о размерности векторного подпространства)

Пусть V1 векторное подпространство конечномерномерного векторного пространства V . Тогда dim V1 dim V и, если dim V1 = dim V , то V1 = V .

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Упражнение 2.7 ( )

Пусть V векторное пространство и ? 6= A V . Доказать, что

1)A L(A);

2)L(A) подпространство пространства V ;

3)L(A) содержится в любом подпространстве, содержащем множество A, т. е. L(A) наименьшее по включению подпространство, содержащее множество A;

4)L(A) = A тогда и только тогда, когда A подпространство пространства V ;

5)если ? 6= B A, то L(B) L(A).

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Упражнение 2.8 ( )

Пусть V векторное пространство и a1; : : : ; ak 2 V . Доказать, что dim Lfa1; : : : ; ak g k, а если векторы a1; : : : ; ak линейно независимы, то dim Lfa1; : : : ; ak g = k и a1; : : : ; ak базис

Lfa1; : : : ; ak g.

Упражнение 2.9 ( )

Пусть V векторное пространство и a1; : : : ; ak , b1; : : : ; bl 2 V . Доказать, что b1; : : : ; bl линейно выражаются через a1; : : : ; ak тогда и только тогда, когда Lfb1; : : : ; bl g Lfa1; : : : ; ak g.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

§ 2.2. Аффинные подпространства.

Пусть A аффинное пространство.

Определение 2.10 (аффинного подпространства)

Непустое подмножество A1 A называется аффинным подпространством, если существует векторное

подпространство V1 ассоциированного векторного

!

пространства A такое, что для любой пары точек A; B 2 A1

!

имеем AB 2 V1 и для любой пары, состоящей из точки A 2 A1 и вектора a 2 V1, имеем A + a 2 A1.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Упражнение 2.11 ( )

говорят, что он параллелен аффинному подпространству A1.

Упражнение 2.12 ( )

Показать, что аффинное подпространство A1 с операциями из A само является аффинным пространством.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

!

Для точки A 2 A и векторного подпространства V1 A положим A + V1 = fA + a : a 2 V1g.

Упражнение 2.13 ( )

Показать, что A + V1 аффинное подпространство и

!

A + V1 = V1.

Упражнение 2.14 ( )

Пусть A1 аффинное подпространство и A 2 A1. Доказать,

!

что A1 = A + A1.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Упражнение 2.15 ( )

Пусть A1 аффинное подпространство конечномерного аффинного пространство A. Доказать, что dim A1 dim A. При этом если dim A1 = dim A, то A1 = A.

Определение 2.16 (параллельности аффинных подпространств)

Пусть A аффинное пространство. Аффинные

подпространства A1; A2 A называются параллельными, если

! ! ! !

или A1 A2, или A2 A1. Обозначается A1 k A2.

Гл. 2. Векторные и аффинные подпространства.

Упражнение 2.17 ( )

Доказать, что в конечномерном аффинное пространстве A два аффинных подпространства A1; A2 параллельны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих двух условий:

1)A1 A2 или A2 A1;

2)A1 \ A2 = ? и существует аффинное подпространство

A3 A такое, что A1 A3, A2 A3 и dim A3 = max(dim A1; dim A2) + 1.