Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_3_glava_2012-2013

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.3 ( )

Показать, что 1) (0; a) = 0 для всех a 2 V ;

2) (a; b + c) = (a; b) + (a; c) для всех a; b; c 2 V и

; 2 R.

Определение 3.4 (нормы, порождённой скалярным произведением)

Пусть V векторное пространство со скалярным произведением. Нормой (длиной) вектора a 2 V , порождённой (согласованной со) скалярным произведением, называется

p

величина jaj := (a; a), которая обозначается также символом kak.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Лемма 3.5 (о свойствах нормы)

Пусть V векторное пространство со скалярным произведением. Тогда

1)jaj 0 для всех a 2 V , кроме того jaj = 0 , a = 0 (положительная определенность нормы);

2)j aj = j jjaj для всех a 2 V и 2 R

(положительная однородность нормы); 3) ja + bj jaj + jbj для всех a; b 2 V

(неравенство Минковского, неравенство треугольника); 4) j(a; b)j jajjbj для всех a; b 2 V

(неравенство Коши Буняковского).

Гл. 3. Евклидовы пространства

Пример 3.6 (скалярного произведения)

n

Формула hu; vi := uk vk задаёт стандартное скалярное

k=1

(неравенство Коши Буняковского).

Упражнение 3.7 ( )

Проверить аксиомы скалярного произведения для стандартного скалярного произведения в Rn.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Упражнение 3.8 ( ) Показать, что

1)j(a; b)j = jajjbj () a и b коллинеарны;

2)ja + bj = jaj + jbj () a и b сонаправлены.

Упражнение 3.9 ( )

Показать, что

ja+bj2+ja bj2=2(jaj2+jbj2) (равенство параллелограмма).

Замечание 3.10 Заметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a

и b, диагоналями являются векторы a + b и a b. Поэтому равенство параллелограмма соответствует следущему известному факту из школьного курса планиметрии: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.11 (метризованного аффинного пространства)

Аффинное пространство A называется метризованным, если в

!

ассоциированном векторном пространстве A задано скалярное произведение.

Определение 3.12 (евклидово аффинного пространства)

Конечномерное вещественное метризованное аффинное пространство называется конечномерным евклидово аффинным пространством.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.13 (метрики, согласованной со скалярным произведением)

Пусть A метризованное аффинное пространство. Функция: A A ! R, определяемая формулой (A; B) = jABj

! q ! !

:= jABj = (AB; AB), A; B 2 A, называется порожденной (согласованной со) скалярным произведением метрикой

(расстоянием).

Лемма 3.14 (о свойствах метрики)

Пусть A метризованное аффинное пространство. Тогда для всех A; B; C 2 A выполнено:

1)(A; B) 0, кроме того (A; B) = 0 , A = B (положительная определённость метрики);

2)(A; B) = (B; A) (симметричность метрики);

3)(A; C) (A; B) + (B; C) (неравенство треугольника).

Гл. 3. Евклидовы пространства

Пример 3.15 (метрики)

Для точек A = ( 1; : : : ; n) и B = ( 1; : : : ; n) в n-мерном арифметическом аффинном пространстве Rn расстояние

s

произведением в Rn, называется евклидовым.

Гл. 3. Евклидовы пространства

§ 3.2. Ортогональность векторов.

Определение 3.16 (угла)

Углом между ненулевыми векторами a и b вещественного векторного пространства V со скалярным произведением называется число ' 2 [0; ] такое, что cos ' = j(aajj;bb)j. Если хотя бы один из векторов a или b равен нулевому, то любое число ' 2 [0; ] называется углом между такими векторами.

Гл. 3. Евклидовы пространства

Определение 3.17 (ортогональных векторов)

Пусть V векторное пространство со скалярным произведением. Два вектора a; b 2 V называются ортогональными, если (a; b) = 0, и обозначается a ? b.

Лемма 3.18 (теорема Пифагора)

Пусть V векторное пространство со скалярным произведением, a; b 2 V . Тогда a ? b () ja + bj2 = jaj2 + jbj2.

Упражнение 3.19 ( )

Пусть ' угол между ненулевыми векторами a и b. Показать, что a ? b () ' = =2.