Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.44 (о плоскости симметрии поверхности второго порядка)

Пусть A n-мерное евклидово аффинное пространство,A поверхность уровня функции f : A ! R второй

степени. Тогда аффинное подпространство A1 A является плоскостью симметрии поверхности , если в каждой точке M 2 A1 вектор gradM f является параллельным подпространству A1.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Определение 8.45 (плоскостей симметрии общего вида и исключительных)

Пусть A n-мерное евклидово аффинное пространство,A поверхность уровня функции f : A ! R второй степени. Плоскость симметрии A1 A поверхности называется плоскостью симметрии общего вида, если

выполнено условие теоремы 8.44, т. е. если gradM f k A1 для всех M 2 A1. Другие плоскости симметрии поверхности называются исключительными.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Найдём все гиперплоскости симметрии общего вида поверхности второго порядка.

Пусть в некоторой аффинной системе координат функция f задана многочленом xT Ax + 2bT x + c, а ha; xi + d = 0 уравнение гиперплоскости A1. Условие gradM f k A1 в точках из A1 означает, что из равенства ha; xi + d = 0 следует, что hAx + b; ai = 0. Условия hAx + b; ai = 0 и hAa; xi + hb; ai = 0

эквивалентны. Возможны два случая.

I. Aa 6= 0. Тогда hAa; xi + hb; ai = 0 уравнение гиперплоскости, а сформулированное выше условие означает, что эта гиперплоскость совпадает с гиперплоскостью

ha; xi + d = 0. Две указанные гиперплоскости совпадают тогда и только тогда, когда эти уравнения пропорциональны, т. е. для некоторого 6= 0 Aa = a и hb; ai = d. Гиперплоскость симметрии имеет вид: ha; xi + hb;ai = 0, Aa = a, 6= 0.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 8. Поверхности второго порядка

II. Aa = 0. Условие hAa; xi + hb; ai = 0 либо не выполнено ни для какой точки пространства A (это так при hb; ai =6 0), либо выполнено для всех точек пространства A (это так при

hb; ai = 0). Если hb; ai =6 0, то следование

(ha; xi + d = 0) ) (hAa; xi + hb; ai = 0) не выполнено. Если

hb; ai = 0, то это следование выполнено для любого d. Поэтому имеются следующие гиперплоскости общего вида:

ha; xi + d = 0, Aa = 0, hb; ai = 0, d произвольно. Все гиперплоскости общего вида найдены.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Разберём подробнее случай кривых второго порядка.

Если кривая эллипс (с неравными полуосями), то имеется с точностью до пропорциональности два вектора a, удовлетворяющие условию Aa = a и соответствующие им две оси симметрии эллипса. Если эллипс окружность, то любой вектор a удовлетворяет условию Aa = a. Этому обстоятельству соответствует тот факт, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является осью симметрии этой окружности.

Как и в случае эллипса для гиперболы и пары пересекающихся прямых имеются две оси симметрии общего вида.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Если I3 = 0, то кроме оси симметрии (5) получаем семейство осей симметрии

Например, для пары параллельных прямых ось симметрии (5) прямая, параллельная данным прямым и равноудалённая от них, а прямые (6) прямые, перпендикулярные данным параллельным прямым.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.13. Плоскость, сопряженная данному направлению.

Пусть A n-мерное аффинное пространство,

F (x) = xT Ax + 2bT x + c = 0 уравнение поверхности A в

!

некоторой аффинной системе координат, a 2 A, a 6= 0. Рассмотрим прямую x = x0 + ta, t 2 R. Найдём точки пересечения прямой с поверхностью . Для этого решим уравнение

F (x0 + ta) = F (x0) + 2hAx0 + b; ait + hAa; ait2 = 0:

Это уравнение второго порядка, если hAa; ai 6= 0. Оно имеет равные по модулю и противоположные по знаку корни, если hAx0 + b; ai = 0, что равносильно hAa; x0i + hb; ai = 0. В этом случае x0 является серединой параллельной направлению a хорды поверхности .

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Определение 8.46 (гиперплоскости, сопряжённой данному направлению)

Если Aa 6= 0, то уравнение

задаёт гиперплоскость, называемую сопряжённой направлению a.

Поэтому середины параллельных направлению a хорд лежат на гиперплоскости, сопряжённой направлению a. Легко показать, что определение сопряжённой гиперплоскости не зависит от

выбора системы координат.

!

Вектор d 2 A параллелен гиперплоскости (7) тогда и только тогда, когда hAa; di = 0. Но это условие равносильно условию hAd; ai = 0. Поэтому, если вектор d параллелен гиперплоскости, сопряжённой направлению a, то вектор a параллелен гиперплоскости, сопряжённой направлению d.