Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.9. Аффинная и метрическая классификации кривых и поверхностей второго порядка. Метод Лагранжа распознавания поверхности.

Рассмотрим более внимательно проблему названий кривых и поверхностей второго порядка. Эти названия были даны по следующему образцу: ¾эллипсом называется кривая, которая в некоторой прямоугольной системе координат задаётся

каноническим уравнением эллипса x2 + y2 = 1¿. Согласно

a2 b2

этому определению название кривой априори зависит от выбора метрики (скалярного произведения) на аффинной плоскости. Имеется ли такая зависимость на самом деле? Следующая теорема даёт ответ на этот вопрос и решает связанную с этим вопросом задачу о том, когда две кривые (поверхности) второго порядка могут переведены друг в друга аффинным преобразованием.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.25 (об аффинной классификации кривых и поверхностей)

Название алгебраической кривой второго порядка на плоскости (алгебраической поверхности второго порядка в трёхмерном аффинном пространстве) не зависит от выбора скалярного произведения. Две алгебраические кривые второго порядка на плоскости (алгебраические поверхности второго порядка в трёхмерном аффинном пространстве) аффинно эквивалентны, т. е. могут быть переведены друг в друга аффинным преобразованием, тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые названия.

Упражнение 8.26 ( )

Докажите теорему 8.25.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Пример 8.28 (применения метода Лагранжа)

Выяснить название поверхности, заданной в аффинной системе координат уравнением

x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 2yz + 6zx 2x + 6y + 2z = 0. Преобразуем это уравнение

(x + y + 3z 1)2 + 4y2 8z2 4yz + 8y + 8z 1 = 0, (x + y + 3z 1)2 + (2y z + 2)2 9z2 + 12z 5 = 0, (x + y + 3z 1)2 + (2y z + 2)2 (3z 2)2 1 = 0.

Рассмотрим новые аффинные координаты

x0 = x + y + 3z 1, y0 = 2y z + 2, z0 = 3z 2.

Отметим, что матрица перехода от базиса одной а.с.к. к базису другой а.с.к. всегда является невырожденной. В новой а.с.к. поверхность задается простейшим уравнением однополостного гиперболоида x02 + y02 z02 = 1. По теореме 8.25

поверхность однополостный гиперболоид.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.29 (о метрической классификации поверхностей и кривых)

Две допустимые алгебраические поверхности второго порядка в трёхмерном евклидово аффинном пространстве (две допустимые алгебраические кривые второго порядка на евклидовой плоскости) метрически эквивалентны, т. е. могут быть переведены друг в друга некоторым изометрическим преобразованием, тогда и только тогда, когда их канонические уравнения совпадают.

Упражнение 8.30 ( )

Докажите теорему 8.29.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.10. Формула приращения алгебраической функции второй степени. Градиент алгебраической функции второй степени.

Пусть A n-мерное аффинное пространство, (I)=(O; E) аффинная система координат в A, f : A ! R функция, заданная в системе координат (I) многочленом

F (x) = xT Ax + 2bT x + c, т. е. f (M) = F (x(M)) для точки

M 2 A с координатами x(M) 2 Rn в а.с.к. (I).

Пусть x(M); x(N) 2 Rn столбцы координат точек M; N 2 A в

аффинной системе координат (I). Тогда h = x(N) x(M)

!

столбец координат вектора MN в базисе E. Имеем

F (x(N)) = (x(M) + h)T A(x(M) + h) + 2bT (x(M) + h) + c

=x(M)T Ax(M)+2bT x(M)+c+hT Ax(M)+x(M)T Ah+2bT h+hT Ah

= F (x(M)) + hT Ax(M) + x(M)T Ah + 2bT h + hT Ah:

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Используя стандартное скалярное произведение h ; i = ( ; )Rn в Rn, формулу (1) перепишем в виде

Если аффинное пространство A евклидово, то скалярное

!

произведение между векторами u; v 2 A выражается через столбцы их координат u; v 2 Rn в базисе E фурмулой

(u; v) =< Gu; v >= uT Gv, где G = GE матрица Грама базиса E.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

В этом случае формулу (1) можно записать следующим образом:

с координатами G 1Ah в базисе E, а gradM f вектор с координатами 2G 1(Ax(M) + b) в базисе E.

Определение 8.31 (градиента)

Вектор gradM f называется градиентом алгебраической функции f второй степени в точке M.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Используя для обозначения вектора его координатное выражение (в дальнейшем мы часто будем использовать такое обозначение, а также работать с вектором как с набором его координат без дополнительных пояснений!!!), формулу (3) записывают также в следующем виде

f (N) = f (M) + (2G 1(Ax(M) + b); h) + (G 1Ah; h); (4)

Лемма 8.32 (об инвариантности градиента)

Пусть A n-мерное евклидово аффинное пространство,

f : A ! R алгебраическая функция второй степени, M 2 A. Тогда определение градиента gradM f функции f в точке M не зависит от выбора аффинной системы координат.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Пусть A евклидово аффинное пространство.

Определение 8.33 (производной по направлению)

!

Для функции f : A ! R, точки M 2 A, вектора a 2 A, jaj = 1, величина

@f (M)= lim f (M+ta) f (M) (если существует конечный предел)

@a t!0 t

называется производной (скоростью изменения) по направлению a функции f в точке M.

По формуле приращения для алгебраической функции f второй степени имеем

@f (M) = lim((gradM f ; a) + t(G 1Aa; a)) = (gradM f ; a): @a t!0

В силу неравенства Коши Буняковского

(gradM f ; a) j gradM f jjaj, причём (gradM f ; a) = j gradM f jjaj

тогда и только тогда, когда gradM f = a для некоторого > 0.