Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013
.pdf
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Гл. 8. Поверхности второго порядка.
§ 8.1. Упрощение многочлена второй степени при помощи ортогональной замены переменных.
Пусть F 2 R[x1; : : : ; xn], deg F = 2. Тогда
n |
n |
X |
X |
F (x) = |
aij xi xj + 2 bi xi + c: |
i;j=1 |
i=1 |
Будем предполагать, что aij = aji , i; j = 1; : : : ; n. Тогда коэффициенты aij определены однозначно. Положим
A = |
|
a...1n |
.:::.. ann... |
; |
b = ...1 |
!; |
x = |
|
x...n |
: |
|
|
a11 |
::: a1n |
|
b |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
bn |
|
|
|
Многочлен F запишем следующим образом
F (x) = xT Ax + 2bT x + c:
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
При замене переменных x = Ux0 + , где |
...n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...1 |
!; |
||||||||||||||||||||||||
U = |
|
|
|
u...n1 |
.:::.. |
u...nn |
|
; |
|
det U 6= 0; |
= |
|
; |
|
|
|
x0 = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
u11 |
::: |
u1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn0 |
|
|
|
|
|
||||||||
многочлен F преобразуется следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
F (x0) = F (Ux0 + ) = (x0T UT + T )A(Ux0 + ) + 2bT (Ux0 + ) + c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= e0 |
T |
U |
T |
AUx0 + x0 |
T |
U |
T A |
+ |
T |
AUx0 + 2b |
T |
Ux0 + |
T |
A + 2b |
T + c: |
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как AT = A, то x0T UT A = (x0T UT A )T = T AUx0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F (x0) = x0T UT AUx0 |
+ 2(A + b)T Ux0 + F ( ) = x0T A0x0 + 2b0T x0 + c0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
0 |
= UT AU, |
b |
0 |
= UT (A + b), c |
0 |
= F ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
|
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Ненулевой вектор e 2 Rn называется собственным вектором
n n-матрицы A с собственным значением , если Ae = e. Из курса алгебры известно, что для любой симметрической
n n-матрицы A с вещественными элементами существует ортонормированный базис в пространстве Rn, состоящий из собственных векторов матрицы A. Рассмотрим в Rn стандартный базис E = ("1; : : : ; "n), состоящий из векторов-столбцов "i = (0; : : : ; 1; : : : ; 0)T , i = 1; : : : ; n, (единица на i-ом месте). Стоящий в i-ой строке и j-ом столбце элемент n n-матрицы A равен aij = "Ti A"j .
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Лемма 8.1 (о диагональности матрицы при переходе к базису из собственных векторов)
Пусть E стандартный базис в Rn, B = (e1; : : : ; en) ортонормированный (относительно стандартного скалярного произведения) базис в Rn, состоящий из собственных векторов матрицы A, i собственное число, соответствующее вектору ei (т. е. Aei = i ei ), i = 1; : : : ; n, U = (B=E) матрица перехода от базиса E к базису B. Тогда
!
|
1 |
0 |
A0 = UT AU = |
... |
диагональная матрица. |
0n
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Некоторые собственные числа i симметрической n n-матрицы A могут быть нулевые. Далее будем
предполагать, что базисные векторы e1; : : : ; ek соответствуют ненулевым собственным числам, а ek+1; : : : ; en нулевому, т. е.
i 6= 0, i = 1; : : : ; k, k+1 = = n = 0, 1 k n.
Если выполнить замену переменных x = Ux0 с матрицей U из леммы 8.1 для симметрической матрицы A коэффициентов многочлена F , то многочлен F преобразуется в следующий многочлен
Fe(x0) = 1x10 2 + + k xk0 2 + 2b1x10 + + 2bnxn0 + c
( i 6= 0; i = 1; : : : ; k; 1 k n):
Далее, тильду у преобразованного многочлена и штрих у новых координат будем опускать.
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Возможны два случая:
I) bk+1 = = bn = 0; II) bk2+1 + + bn2 6= 0.
Первый случай. Преобразуем многочлен F следующим образом
F (x) = 1(x1 + b1= 1)2 + + k (xk + bk = k )2 + :
Выполним замену переменных
x1 = x10 b1= 1; : : : ; xk = xk0 bk = k ; xk+1 = xk0 +1; : : : ; xn = xn0 :
Многочлен F примет вид
F (x) = 1x12 + + k xk2 + :
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Второй случай. Повторяя преобразования из первого случая, получим многочлен
F (x) = 1x12 + + k xk2 + 2bk+1xk+1 + + 2bnxn + c:
Пусть v1 = (bk+1= ; : : : ; bn= ) 2 Rn k , где 2 = bk2+1
Имеем jv1j = 1. Дополним вектор v1 до ортонормированного базиса v1; : : : ; vn k в Rn k . Пусть vj = (v1j ; : : : ; vn k;j ),
j = 1; : : : ; n k. Рассмотрим матрицу
0 |
1 ... |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
V = B |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
: |
|
|
v |
|
: : : |
|
v |
|
||||
B |
|
|
11 |
|
1;n k |
C |
|
||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||
B |
0 |
|
|
. . |
.. |
|
|
. |
C |
|
|
B |
|
|
.. |
|
|
|
.. |
C |
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
v |
n k;1 |
: : : |
v |
n k;n k |
C |
|
|||
B |
|
|
|
|
|
C |
|
||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Столбцы матрицы V образуют ортонормированный базис в Rn. Поэтому матрица V ортогональна. 
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Рассмотрим замену переменных x = Vx0. Так как V 1 = V T , то x0 = V T x. Следовательно,
x10 = x1; : : : ; xk0 = xk ;
xk0 +1=v11xk+1+: : :+vn k;1xn; : : : ; xn0 =v1;n k xk+1+: : :+vn k;n k xn:
Так как vi1 = bk+i = , то многочлен F преобразуется в многочлен
F (x) = 1x12 + + k xk2 + 2 xk+1 + :
Теперь замена переменных
x1 = x10 ; : : : ; xk = xk0 ; xk+1 = xk0 +1 =(2 ); xk+2 = xk0 +2; : : : ; xn = xn0
преобразует многочлен F в многочлен
F (x) = 1x12 + + k xk2 + 2 xk+1:
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Доказана следующая
Теорема 8.2 (о преобразовании многочлена второй степени к простейшему виду)
Каждый многочлен второй степени с помощью ортогональной замены переменных может быть преобразован в один из следующих простейших многочленов
(Ik ) 1x12 + + k xk2 + ( i 6= 0, i = 1; : : : ; k, 1 k n); (IIk ) 1x12 + + k xk2 + 2 xk+1 ( i 6= 0, i = 1; : : : ; k, 6= 0,
1 k n 1).
Так как замена названий осей координат является ортогональной заменой переменных, то без ограничения общности можно считать, что в простейших многочленах (Ik ) и (IIk ) 1 2 k . Меняя направление оси Oxk+1, можем изменить знак коэффициента . Будем считать, что
1 < 0.
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |
Гл. 8. Поверхности второго порядка
Следствие 8.3 (о задании алгебраической функции второй степени простейшим многочленом)
Каждая алгебраическая функция второй степени, заданная в n-мерном евклидово аффинном пространстве, в подходящей прямоугольной системе координат задаётся одним из простейших многочленов (Ik ), 1 k n, или (IIk ),
1 k n 1.
А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) |
Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13) |