Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Если направление является главным для функции f , то оно является главным и для произведения функции на любое число 6= 0. То же самое справедливо для особых, асимптотических и сопряжённых направлений.

Уравнение второй степени, задающее поверхность второго порядка, определено однозначно с точностью до пропорциональности. Это означает, что главные, особые, асимптотические и сопряжённые направления функции f однозначно определяются любой её допустимой поверхностью уровня.

Тем самым главные, особые, асимптотические и сопряжённые направления определены для допустимых поверхностей второго порядка, а не для уравнений, задающих эти поверхности. Другими словами, свойство направления быть главным, особым, асимптотическим, сопряжённым определяется геометрией поверхности, а не выбором системы координат или уравнения поверхности в этой системе координат.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

У эллипса нет вещественных асимптотических направлений, у гиперболы асимптоты имеют асимптотические направления. Всякое особое направление является асимптотическим. Асимптотические направления гиперболоида образуют его асимптотический конус. Используя канонические уравнения, легко отыскать все главные, особые и асимптотические направления у любой поверхности или кривой второго порядка.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.15. Эллипсоид.

В трёхмерном евклидово аффинном пространстве эллипсоид задаётся в канонической прямоугольной системе координат

уравнением x2 + y2 + z2 = 1 (a b c > 0). Очевидно, что

a2 b2 c2

эллипсоид содержится в параллелепипеде jxj a, jyj b, jzj c. Поэтому эллипсоид ограничен. Начало системы координат центр симметрии эллипсоида, оси координат оси симметрии, координатные плоскости плоскости симметрии. При a = b или b = c эллипсоид является поверхностью вращения. При a = b = c эллипсоид является сферой. Эллипсоид может быть получен из сферы

x2 + y2 + z2 = a2 сжатиями вдоль осей Oy и Oz.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями z = h. Получаем = 1 hc22 . Это сечение является эллипсом с полуосями

pp

a 1 h2=c2 и b 1 h2=c2 при jhj < c, точкой при jhj = c, мнимым эллипсом при jhj > c. Отметим, что получающиеся эллипсы подобны, а их оси параллельны осям Ox и Oy.

Аналогичным образом устроены сечения эллипсоида плоскостями параллельными координатным плоскостям x = 0 и y = 0.

Определение 8.49 (трёхосного эллипсоида) Эллипсоид называется трёхосным, если a > b > c.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Лемма 8.50 (о круговых сечениях поверхности второго порядка)

Если плоскость пересекает в трёхмерном евклидово аффинном пространстве поверхность второго порядка по окружности, то любая плоскость 0, параллельная плоскости , пересекает эту поверхность по окружности, может быть вырожденной или мнимой.

Упражнение 8.51 ( )

Докажите лемму 8.50.

Найдём круговые сечения трёхосного эллипсоида.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Рассмотрим пересечение эллипсоида x2 + y2 + z2 = 1 со

сферой x2 + y2 + z2 = b2. Имеем

a2 b2 c2

получаются окружности радиуса b, проходящие через точки (0; b; 0) эллипсоида и имеющие центр в начале координат. По лемме 8.50 плоскости, параллельные указанным плоскостям, пересекают эллипсоид по окружностям.

Осталось доказать, что других круговых сечений нет.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.16. Однополостный гиперболоид.

В трёхмерном евклидово аффинном пространстве однополостный гиперболоид задаётся в канонической прямоугольной системе координат уравнением xa22 + yb22 cz22 = 1 (a b > 0). Начало системы координат O центр симметрии гиперболоида, оси координат оси симметрии, координатные плоскости плоскости симметрии.

При a = b получаем гиперболоид вращения. Он образован вращением гиперболы вокруг её мнимой оси. Из гиперболоида вращения произвольный гиперболоид получается сжатием вдоль оси Oy.

В сечениях плоскостями z = h получаем подобные друг другу эллипсы. Самый маленький получается при h = 0. Это сечение гиперболоида называется горловым.