Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.2. Классификация кривых и поверхностей, заданных уравнением второй степени.

Рассмотрим случай n = 2. Пусть A евклидовая плоскость. По следствию 8.3 каждая алгебраическая функция f : A ! R второй степени в некоторой прямоугольной системе координат может быть задана одним из следущих трёх простейших многочленов (ср. с теоремой 4.6)

(I2) 1x2 + 2y2 + ( i 6= 0, i = 1; 2); (II1) x2 + 2 y ( 6= 0, 6= 0);

(I1) x2 + ( 6= 0).

Поэтому каждая кривая на евклидовой плоскости, заданная уравнением второй степени, в некоторой прямоугольной системе координат может быть задана одним из трёх соответствующих простейших уравнений второй степени.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Учитывая знаки коэффициентов, используя операцию деления уравнения на скаляр и меняя, если понадобится, названия и направления осей координат, из трёх простейших уравнений получаем следующие канонические уравнения (следствие 5.5):

прямых (точки);

4.xa22 yb22 = 1 к.у. гиперболы;

5.xa22 y2 = 0 к.у. пары пересекающихся прямых;

6.y2 = 2px (p > 0) к.у. параболы;

7.x2 = d2 (d 6= 0) к.у. пары параллельных прямых;

8.x2 = d2 (d 6= 0) к.у. пары мнимых параллельных прямых;

9.x2 = 0 к.у. пары совпавших прямых (прямой).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Замечание 8.4 Канонические уравнения 2 и 8 задают пустое множество

кривую порядка 0, уравнение 9 кривую порядка 1, т. е. прямую. Кривая, заданная уравнением 3 (точка) не является допустимой кривой. Кривые, заданные уравнениями 1, 4, 5, 6, 7 допустимые кривые второго порядка.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Рассмотрим теперь случай n = 3. Пусть A трёхмерное евклидово аффинное пространство. По следствию 8.3 каждая алгебраическая функция f : A ! R второй степени в некоторой прямоугольной системе координат может быть задана одним из следущих пяти простейших многочленов

(I3) 1x2 + 2y2 + 3z2 + ( i 6= 0, i = 1; 2; 3); (II2) 1x2 + 2y2 + 2 z ( i 6= 0, i = 1; 2, 6= 0); (I2) 1x2 + 2y2 + ( i 6= 0, i = 1; 2);

(II1) x2 + 2 y ( 6= 0, 6= 0); (I1) x2 + ( 6= 0).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Поэтому каждая поверхность в трёхмерном евклидово аффинном пространстве, заданная уравнением второй степени, в некоторой прямоугольной системе координат может быть задана одним из пяти соответствующих простейших уравнений второй степени.

Учитывая знаки коэффициентов, используя операцию деления уравнения на скаляр и меняя, если понадобится, названия и направления осей координат, из пяти простейших уравнений получаем следующие канонические уравнения.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Следствие 8.5 (о классификации поверхностей второго порядка)

Алгебраическая поверхность, заданная в трёхмерном евклидово аффинном пространстве уравнением второй степени, может быть задана в некоторой прямоугольной системе координат одним из следующих канонических уравнений:

1.x2 + y2 + z2 = 1 (a b c > 0) к.у. эллипсоида;

a2 b2 c2

2.x2 + y2 + z2 = 1 (a b c > 0) к.у. мнимого

a2 b2 c2

эллипсоида;

3.x2 + y2 + z2 = 0 (a b > 0) к.у. мнимого конуса (точки);

a2 b2

4.xa22 +yb22 cz22 =1 (a b>0) к.у. однополостного гиперболоида;

5.xa22 +yb22 cz22 = 1 (a b>0) к.у. двуполостного гиперболоида;

6.xa22 + yb22 z2 = 0 (a b > 0) к.у. конуса;

7.x2 + y2 = 2z (a b > 0) к.у. эллиптического параболоида;

a2 b2

Гл. 8. Поверхности второго порядка

8. xa22 yb22 = 2z (a b > 0) к.у. гиперболического параболоида;

9.x2 + y2 = 1 (a b > 0) к.у. эллиптического цилиндра;

a2 b2

10.x2 + y2 = 1 к.у. мнимого эллиптического цилиндра;

a2 b2

11.xa22 +y2=0 – к.у. пары мнимых пересек-щихся пл-стей

(прямой);

12.xa22 yb22 = 1 к.у. гиперболического цилиндра;

13.xa22 y2 = 0 к.у. пары пересекающихся плоскостей;

14.y2 = 2px (p > 0) к.у. параболического цилиндра;

15.x2 = d2 (d 6= 0) к.у. пары параллельных плоскостей;

16.x2= d2 (d6=0) к.у. пары мнимых параллельных

плоскостей;

17. x2 = 0 к.у. пары совпавших плоскостей (плоскости).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Определение 8.6 (названий поверхностей второго порядка)

Эллипсоидом в евклидовом трёхмерном аффинном пространстве называется алгебраическая поверхность второго порядка, которая может быть задана в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением эллипсоида. Аналогично вводятся названия других поверхностей второго порядка: мнимого конуса (точки), однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, конуса, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида, эллиптического цилиндра, мнимых пересекающихся плоскостей (прямой), гиперболического цилиндра, пары пересекающихся плоскостей, параболического цилиндра, пары параллельных плоскостей. Прямоугольная система координат, в которой поверхность задана каноническим уравнением называется канонической системой координат.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Замечание 8.7 Уравнения 2, 10, 16 и 17 задают поверхности не второго

порядка. Поверхности, заданные уравнениями 11 (прямая) и 3 (точка) не являются допустимыми поверхностями. Остальные поверхности допустимые поверхности второго порядка.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.3. Инварианты.

Рассмотрим многочлен ' = det(A E ) переменных и aij (1 i j n), где A симметрическая матрица с элементами aij (1 i j n). Запишем многочлен ' в виде

n

X

' = ( 1)n( n I1 n 1 + + ( 1)nIn) = In k ( )k ;

k=0

где Ik многочлены переменных aij (1 i j n),

k = 1; : : : ; n; I0 = 1.

Для многочлена F (x) = xT Ax + 2bT x + c симметрическая матрица A определена однозначно, т. е. значения переменных aij (1 i j n) однозначно определяются многочленом F . Значения многочлена Ik на этом наборе значений aij (1 i j n) обозначим через Ik (F ).

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)