Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_6_glava_2012-2013

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования.

§ 6.1. Линейные отображения векторных пространств.

Пусть V и W вещественные векторные пространства.

Определение 6.1 (линейного отображения)

Отображение ': V ! W называется линейным, если

'( a + b) = '(a) + '(b) для a; b 2 V и ; 2 R.

Определение 6.2 (ядра линейного отображения)

Ядром линейного отображения ' называется множество ker ' := ' 1(0) = fa 2 V : '(a) = 0g.

Обозначим через L(V ; W ) множество всех линейных отображений из пространства V в пространство W . Положим L(V ) = L(V ; V ).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пример 6.3 (линейных отображений)

1)Нулевое отображение 0: V ! W определяется правилом

0(a) = 0, a 2 V .

2)Тождественное отображение IV : V ! V определяется правилом IV (a) = a, a 2 V .

Упражнение 6.4

Доказать линейность нулевого и тождественного отображений.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.5 (об образе и прообразе линейного подпространства при линейном отображении)

Пусть V и W вещественные векторные пространства, ': V ! W линейное отображение. Тогда

1)если V1 векторное подпространство пространства V , то '(V1) векторное подпространство пространства W ; в частности, im ' векторное подпространство пространства W ;

2)если W1 векторное подпространство пространства W , то ' 1(W1) векторное подпространство пространства V ; в частности, ker ' векторное подпространство пространства V .

Упражнение 6.6

Доказать утверждение 1) леммы 6.5.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.7 (об инъективности линейного отображения)

Пусть V и W вещественные векторные пространства,

': V ! W линейное отображение. Тогда следующие три условия эквивалентны:

a)отображение ' инъективно;

b)ker ' = 0;

c)отображение ' переводит линейно независимые векторы в линейно независимые векторы.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.8

Пусть U, V и W вещественные векторные пространства,

: U ! V и ': V ! W линейные отображения. Доказать, что композиция ' : U ! W линейное отображение.

Упражнение 6.9 Пусть V и W вещественные векторные пространства,

': V ! W биективное линейное отображение. Доказать, что обратное отображение ' 1 : W ! V линейно.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.10 (о сумме размерностей ядра и образа линейного отображения)

Пусть V и W вещественные векторные пространства, dim V < 1, ': V ! W линейное отображение. Тогда dim ker ' + dim im ' = dim V .

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

§ 6.2. Формула линейного отображения.

Пусть V и W вещественные векторные пространства, dim V = n, dim W = m, E = (e1; : : : ; en) базис в V и

E = (e1; : : : ; em) базис в W . Рассмотрим формулу

где X = (X1; : : : ; Xn)T вектор-столбец в Rn, X = (X 1; : : : ; X m)T вектор-столбец в Rm,

01

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пусть отображение ': V ! W определено следующим правилом. Для вектора a 2 V с координатами (X1; : : : ; Xn) в базисе E сопоставляется вектор '(a) 2 W с координатами (X 1; : : : ; X m) в базисе E, полученными из (X1; : : : ; Xn) по формуле (1). Тогда говорят, что отображение ': V ! W задано в базисах E и E формулой (1).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.11 (о формуле линейного отображения)

Пусть V и W вещественные векторные пространства, dim V = n, dim W = m, E = (e1; : : : ; en) базис в V и

E = (e1; : : : ; em) базис в W . Тогда

1)отображение, заданное в базисах E и E формулой (1), линейно;

2)каждое линейное отображение пространства V в пространство W может быть задано в базисах E и E формулой вида (1);

3)для фиксированного линейного отображения ': V ! W формула (1), задающая отображение ' в базисах E и E, находится однозначно, при этом L = ('(E)=E), где

'(E) = ('(e1); : : : ; '(en)).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Определение 6.12 (матрицы линейного отображения)

Матрица L = ('(E)=E) называется матрицей линейного отображения ': V ! W в базисах E и E.

Замечание 6.13

Столбцами матрицы L являются координаты в базисе E образов '(ej ) векторов базиса E. Поэтому для задания линейного отображения ': V ! W достаточно объявить, что соответствующими образами векторов некоторого базиса n-мерного векторного пространства V являются произвольно выбранные n векторов пространства W .