Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_7_glava_2012-2013

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Гл. 7. Алгебраические поверхности. § 7.1. Алгебраические функции.

Пусть Z+ := f0; 1; 2; : : : g множество всех неотрицательных целых чисел.

Определение 7.1 (мультииндекса)

Набор = ( 1; : : : ; n) 2 Zn+ (с неотрицательными целыми компонентами k , k = 1; : : : ; n) называется (n-мерным) мультииндексом. При этом о числе n говорят как о длине мультииндекса , а о числе j j = 1 + : : : + n как о его

порядке (весе).

Положим ! = 1! : : : n!.

Для набора x = (x1; : : : ; xn) переменных x1; : : : ; xn произведение x1 1 : : : xn n обозначают через x .

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Определение 7.2 (канонической формы записи многочлена)

Канонической формой записи многочлена (степени не выше N) от n переменных x1; : : : ; xn с вещественными коэффициентами является выражение вида P a x , где a 2 R

j jN

коэффициенты многочлена, а суммирование ведётся по всем мультииндексам 2 Zn+ порядка не больше N.

Замечание 7.3

Множество R[x1; : : : ; xn] всех многочленов (произвольной степени) от n переменных x1; : : : ; xn с вещественными коэффициентами является кольцом относительно операций сложения и умножения.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Определение 7.4 (степени многочлена)

Если при записи многочлена в виде F = P a x среди

j jN

коэффициентов a , для которых j j = N, имеются отличные от нуля, то говорят, что многочлен F имеет степень N и обозначают её через deg F . Для нулевого многочлена 0 (многочлена, все коэффициенты которого равны нулю) считают, что его степень равна 1, т. е. deg 0 = 1.

Замечание 7.5

Пусть F1; F2 2 R[x1; : : : ; xn]. Тогда deg(F1 + F2) maxfdeg F1; deg F2g и deg(F1 F2) = deg F1 + deg F2.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Замечание 7.6 Если вместо переменных x1; : : : ; xn в многочлене

F 2 R[x1; : : : ; xn] подставить компоненты вектора пространства Rn, то получим значение многочлена F на этом векторе. Поэтому каждому многочлену F 2 R[x1; : : : ; xn] однозначно соответствует функция F : Rn ! R его значений. И для функции, и для многочлена обычно используют одно обозначение.

Определение 7.7 (корня многочлена от одной переменной)

Число b 2 R называется вещественным корнем многочлена F 2 R[x] одной переменной x, если F (b) = 0.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Теорема 7.8 (Безу (из курса Алгебры))

Пусть b вещественный корень многочлена F 2 R[x]. Тогда F = (x b)G для некоторого G 2 R[x].

Следствие 7.9 (о количестве различных корней)

Пусть F 2 R[x] и N = deg F > 1. Тогда F имеет не более чем N попарно различных корней.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Лемма 7.10 (об однозначности определения многочлена своими значениями)

Своими значениями на векторах пространства Rn многочлен F 2 R[x1; : : : ; xn] определяется однозначно.

Упражнение 7.11 ( )

Докажите лемму 7.10 с помощью индукции по количеству переменных.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Пусть A n-мерное аффинное пространство, (I) аффинная система координат в A, F 2 R[x1; : : : ; xn]. Определим функцию f : A ! R правилом f (M) = F (x1(M); : : : ; xn(M)), M 2 A, где в правой части стоит значение многочлена F на векторе

(x1(M); : : : ; xn(M)) координат точки M в аффинной системе координат (I). При этом будем говорить, что функция f задана многочленом F в аффинной системе координат (I).

Выясним как меняется многочлен, задающий функцию при ограничении функции на подпространство и при переходе к другой системе координат.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

Рассмотрим случай, когда A1 = A. Тогда f jA1 = f и построенный выше многочлен F 0 задаёт функцию f в аффинной системе координат (I0) пространства A. Тем самым доказана

Лемма 7.12 (о задании функции многочленом)

Если функция f : A ! R может быть задана многочленом в одной аффинной системе координат конечномерного аффинного пространства A, то она может быть задана многочленом в любой другой аффинной системе координат пространства A.

Гл. 7. Алгебраические поверхности

В силу леммы 7.12 корректно следующее определение.

Определение 7.13 (алгебраической функции)

Функция f : A ! R называется алгебраической, если она может быть задана многочленом в некоторой (а, следовательно, и в любой) аффинной системе координат конечномерного аффинного пространства A.

Замечание 7.14 Так как многочлен своими значениями определяется

однозначно (лемма 7.10), то многочлен, задающий алгебраическую функцию в заданной аффинной системе координат, является единственным.