Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

0a11 ::: a1n b1 1

Рассмотрим матрицу A = @ ... ... ... ... A. Её определитель

a1n ::: ann bn b1 ::: bn c

In+1 = det A является многочленом переменных aij

(1 i j n), bi (1 i n), c. Для каждого многочлена F обозначим значение многочлена In+1 на наборе значений переменных, соответствующих многочлену F , через In+1(F ).

Теорема 8.8 (об инвариантности Ik при ортогональной замене переменных)

Если многочлен Fe 2 R[x10 ; : : : ; xn0 ] получен из многочлена F 2 R[x1; : : : ; xn] c deg F = 2 ортогональной заменой

переменных (т. е. заменой вида x = Ux0 + с ортогональной

n n-матрицей U, 2 Rn, x = (x1; : : : ; xn)T ,

x0 = (x10 ; : : : ; xn0 )T ), то Ik (Fe) = Ik (F ), k = 1; : : : ; n + 1.

Многочлены Ik , k = 1; : : : ; n + 1, называются инвариантами. Для простейших многочленов (Ik ) или (IIk ) имеем

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Поэтому 1; : : : ; k ненулевые корни многочлена '( ), а

симметрические функции от 1; : : : ; k . В частности,

I1 = 1 + + k , I2 = 1 2 + + k 1 k , . . . ,

Ik = 1 k 6= 0.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Следствие 8.10 (об определении номера простейшего многочлена по инвариантам)

Для многочлена F 2 R[x1; : : : ; xn] c deg F = 2 эквивалентны следующие два утверждения:

1)многочлен F может быть приведён с помощью ортогональной замены переменных либо к многочлену (Ik ), либо к многочлену (IIk );

2)Ik+1(F ) = = In(F ) = 0, Ik (F ) 6= 0.

Отметим, что коэффициенты 1; : : : ; k простейшего многочлена (Ik ) или (IIk ), к которому можно привести многочлен F , вычисляются по инвариантам многочлена F . Действительно, коэффициенты 1; : : : ; k являются

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.4. Полуинварианты.

Рассмотрим многочлен = det(A E ) переменных , aij

0a11 ::: a1n b1 1

(1 i j n), bi (1 i n) и c, где A = @ ... ... ... ... A и

a1n ::: ann bn b1 ::: bn c

10 0 !

01 0

0::: 0 0

=Pnl=0 Kn l ( )l , где Kl многочлены переменных aij (1 i j n), bi (1 i n) и c, l = 0; : : : ; n. Для

F (x) = xT Ax + 2bT x + c симметрическая матрица A определена однозначно, т. е. значения переменных aij

(1 i j n), bi (1 i n) и c однозначно определяются многочленом F . Значения многочленов Kl на этом наборе значений aij (1 i j n), bi (1 i n) и c обозначим через

Kl (F ).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.11 (об инвариантности Kl при ортогональной замене переменных, сохраняющей начало координат)

Если многочлен Fe 2 R[x10 ; : : : ; xn0 ] получен из многочлена F 2 R[x1; : : : ; xn] c deg F = 2 ортогональной заменой

переменных вида x = Ux0 (U ортогональная n n-матрица, x = (x1; : : : ; xn)T , x0 = (x10 ; : : : ; xn0 )T ), то Kl (Fe) = Kl (F ),

l = 0; : : : ; n.

Определение 8.12 (полуинвариантов)

Многочлены Kl , l = 0; : : : ; n, называются полуинвариантами.

Лемма 8.13 (о равенстве Kn(F ) = In+1(F ))

Пусть F 2 R[x1; : : : ; xn], deg F = 2. Тогда Kn(F ) = In+1(F ).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.5. Инвариантность полуинвариантов.

Рассмотрим многочлен F 2 R[x1; : : : ; xn] с deg F = 2, который не содержит переменных xj+1; : : : ; xn. Тогда этот многочлен можно рассматривать также как многочлен переменных

x1; : : : ; xj , т. е. можно считать, что F 2 R[x1; : : : ; xj ]. Многочлен зависит от числа рассматриваемых переменных. Поэтому для F определены два многочлена ( ; F ). Один в том случае, когда мы рассматриваем F как многочлен от n переменных, а другой в том случае, когда мы рассматриваем F как многочлен от j переменных. Во втором случае будем использовать обозначения ( ; F ). Соответствующие полуинварианты обозначим через K l (F ). Аналогичная договоренность распространяется на многочлен '( ; F ) и инварианты I k (F ).

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Лемма 8.14 (о полуинвариантах многочлена, несодержащего переменных xj+1; : : : ; xn)

Если многочлен F 2 R[x1; : : : ; xn] с deg F = 2 не содержит переменных xj+1; : : : ; xn, то

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Определение 8.16 (инвариантности полуинвариантов)

Будем говорить, что полуинвариант Kl является инвариантом для многочлена F , если Kl (Fe) = Kl (F ) для каждого многочлена Fe, полученного из F ортогональной заменой переменных.

Композиция ортогональных замен переменных является ортогональной заменой. Поэтому, если Kl является инвариантом для многочлена F , а Fe получен из F ортогональной заменой переменных, то Kl является инвариантом для многочлена Fe. Каждая ортогональная замена переменных может быть представлена как композиция двух замен переменных вида x = x0 + и x0 = Ux00.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Поэтому из теоремы 8.11 и леммы 8.15 вытекает следующее

Следствие 8.17 (об инвариантности полуинвариантов)

Если многочлен F 2 R[x1; : : : ; xn] c deg F = 2 может быть приведён ортогональной заменой переменных к многочлену

Fe 2 R[x10 ; : : : ; xn0 ], не содержащему переменных xj0+1; : : : ; xn0 , то Kl являются инвариантами для F при l j.