Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Если gradM f 6= 0, то максимум скорости изменения функции f второй степени в точке M достигается в направлении вектора gradM f =j gradM f j и равен j gradM f j. Геометрический смысл градиента состоит в том, что градиент функции f имеет направление максимального роста функции, а величина его равна максимальной скорости изменения функции.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.11. Касательная к поверхности уровня.

Пусть V n-мерное векторное пространство, (ak )k2N последовательность векторов в V .

Определение 8.34 (предела последовательности векторов)

Говорят, что последовательность (ak )k2N сходится к вектору

a 2 V при k ! 1, и пишут ak ! a при k ! 1 или lim ak = a,

k!1

если для некоторого базиса в V последовательность i-ых координат (xi (ak ))k2N векторов ak сходится к i-ой координате xi (a) вектора a для всех i = 1; : : : ; n.

Используя формулы перехода от одного базиса к другому, легко показать, что сходимость не зависит от выбора базиса. Если

V векторное пространство со скалярным произведением (евклидово векторное пространство), то ak ! a при k ! 1 тогда и только тогда, когда jak aj ! 0 при k ! 1.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Пусть A n-мерное аффинное пространство, (Mk )k2N последовательность точек в A.

Определение 8.35 (предела последовательности точек)

Говорят, что последовательность (Mk )k2N сходится к точке M 2 A при k ! 1, и пишут Mk ! M при k ! 1 или

lim Mk = M, если для некоторой аффинной системы

k!1

координат в A последовательность i-ых координат (xi (Mk ))k2N точек Mk сходится к i-ой координате xi (M) точки M для всех i = 1; : : : ; n.

Используя формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой, легко показать, что сходимость не зависит от выбора аффинной системы координат. Если A евклидово аффинное пространство, то Mk ! M при k ! 1 тогда и только тогда, когда jMk Mj ! 0 при k ! 1.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Пусть (lk )k2N последовательность лучей в аффинном пространстве A с началом в некоторой точке M 2 A.

Определение 8.36 (предела последовательности лучей)

Говорят, что последовательность (lk )k2N сходится при k ! 1 к лучу l в A с началом в M, и пишут lk ! l при k ! 1 или

lim lk = l, если существует последовательность точек (Mk )k2N

k!1

такая, что Mk 2 lk , Mk ! N, N 2 l, N 6= M.

Если A евклидово аффинное пространство, то lk ! l при k ! 1 тогда и только тогда, когда hk ! h при k ! 1, где hk единичный вектор, направленный вдоль луча lk , а h единичный вектор, направленный вдоль луча l.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Пусть поверхность (= множество) в аффинном пространстве A, M 2 .

Определение 8.37 (касательного луча и касательного конуса)

Луч l в A с началом в M называется касательным к в точке M, если существует последовательность точек

(Nk 2 )k2N такая, что Nk 6= M, Nk ! M и lMNk ! l при k ! 1. Касательные лучи к поверхности в точке M

образуют конус, который называется касательным конусом к поверхности в точке M.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Лемма 8.38 (о направлении касательного луча)

Пусть A n-мерное аффинное пространство, поверхность в A, заданная в некоторой аффинной системе координат

уравнением второй степени xT Ax + 2bT x + c = 0, M 2 , l

!

касательный к луч в точке M, a 2 A вектор, сонаправленный лучу l. Тогда hAx(M) + b; ai = 0, где x(M) координаты точки M в аффинной системе координат, а a координаты вектора a в базисе аффинной системы координат.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.39 (об уравнении касательной гиперплоскости)

Пусть A n-мерное аффинное пространство, поверхность в A, заданная в некоторой аффинной системе координат уравнением второй степени xT Ax + 2bT x + c = 0. Предположим, что касательный конус к в некоторой точке M 2 является гиперплоскостью и Ax(M) + b 6= 0, где x(M) координаты точки M в аффинной системе координат. Тогда

hAx(M) + b; x x(M)i = 0 (hAx(M) + b; xi + hb; x(M)i + c = 0)

уравнение касательной гиперплоскости к в точке M.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.12. Центр и плоскости симметрии поверхности второго порядка.

Определение 8.40 (центра симметрии)

Пусть поверхность (= множество) в аффинном пространстве A. Точка M 2 A называется центром симметрии поверхности , если при преобразовании центральной симметрии относительно точки M каждая точка, принадлежащая поверхности , отображается в точку, принадлежащую снова поверхности .

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теорема 8.41 (о центре симметрии поверхности второго порядка)

Пусть A n-мерное аффинное пространство, непустая поверхность в A, заданная в некоторой аффинной системе координат уравнением второй степени xT Ax + 2bT x + c = 0. Точка M 2 A является центром симметрии поверхности тогда и только тогда, когда Ax(M) + b = 0, где x(M) координаты точки M в аффинной системе координат.

Упражнение 8.42 ( )

Докажите теорему 8.41.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Определение 8.43 (плоскости симметрии)

Пусть поверхность (= множество) в конечномерном евклидово аффинном пространстве A. Аффинное подпространство A1 A называется плоскостью симметрии поверхности , если при преобразовании симметрии относительно аффинного подпространства A1 каждая точка, принадлежащая поверхности , отображается в точку, принадлежащую снова поверхности .