т.е. числа соответствуют группировке слагаемых в произведении с одинаковыми степенями , получающихся при почленном умножении рядов (15.5.11).

§ 15.6. Теорема Римана о перестановках членов ряда

Если ряд сходится, но не сходится абсолютно, его называют сходящимся условно. Впрочем, эта терминология используется только в тех случаях, когда противопоставляются сходимость и абсолютная сходимость рядов.

Для простоты будем рассматривать ряды с действительными членами.

Понятно, что условно сходящийся ряд с действительными членами имеет бесконечно много положительных и бесконечно много

гласно теореме 15.1.3 сходился бы и другой. Но сходимость рядов

Здесь сходимость ряда к +∞ понимается как стремление его частных сумм к +∞. Строго говоря, вместо “ряд сходится к +∞”

∑

и, когда каждое и каждое взято один раз, является

каждого , −∞ 6 6 +∞, существуют такие строго возрастающие последовательности натуральных чисел { } и { }, что ряд

1 + · · · + 1 − 1 − · · · − 1 + 1+1 + · · · + 2 − 1+1 − · · · − 2 + · · · (15.6.1)

сходится к .

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда конечно.

Построим последовательности { } и { }. Пользуясь расхо-

∑

димостью ряда , в качестве 1 возьмем наименьший индекс, для которого

1 + · · · + 1 − 1 − · · · −

отличаются от менее, чем на max ( 1 , 1 ).

∑

Теперь будем добавлять со знаком + члены ряда с индексами, б´ольшими 1, пока впервые не получим число, превосходящее . Пусть 2 – наименьший индекс такой, что

1 + · · · + 1 − 1 − · · · − 1 + 1+1 + · · · + 2 > .

При этом отклонения от сумм вида

1 + · · · + 1 − 1 − · · · − 1 + 1+1 + · · · +

при = 1 + 1, . . . , 2 не превышают max( 2 , 1 ).

На следующем шаге построения приходим к неравенству

1 + · · · + 1 − 1 − · · · − 1 + + 1+1 + · · · + 2 − 1+1 − · · · − 2 < ,

где 2 – наименьший индекс, для которого выполняется это неравенство. Уклонения от частных сумм ряда (15.6.1)

1 + · · · + 1 − 1 − · · · − 1 + + 1+1 + · · · + 2 − 1+1 − · · · −

при = 1 + 1, . . . , 2 не превосходит max( 2 , 2 ). Продолжая такое построение, получим нужный ряд, сходи-

мость которого к следует из стремления чисел и к нулю. Заметим, что в этом построении были использованы и притом

1 + · · · + 1 > 1,

∑

а затем вычитаем первый член ряда . Тогда число

1 + · · · + 1 − 1

может быть меньше 1 не более, чем на 1.

∑

Теперь добавляем члены ряда так, чтобы получить оцен-

ку

1 + · · · + 1 − 1 + 1+1 + · · · + 2 > 2.

имеет предел при → ∞ и этот предел равен .

Величину называют (обобщенной) суммой ряда (15.7.1) в смысле метода средних арифметических.

Выразим величины через члены ряда (15.7.1):

Суммирование рядов методом средних арифметических рассматривали еще в XVIII веке. Но обычно его называют суммированием методом Чезаро первого порядка или методом ( , 1), поскольку Э. Чезаро в конце XIX века ввел целую серию методов суммирования, на первом месте в которой стоит суммирование методом средних арифметических.

Для других методов суммирования рассматриваются средние, построенные с помощью частных сумм ряда иначе, чем в (15.7.2).

Можно говорить также о суммировании произвольной последовательности , которая не обязательно является последовательностью частных сумм ряда.

Характерным примером расходящегося ряда, суммируемого методом ( , 1), является ряд

∞

∑

(−1) = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · .

=0

Этот ряд суммируется методом средних арифметических к числу 1/2, так как его частные суммы попеременно равны 1 или 0.

ветственно, где и не обязательно конечны, и числа и тако-

свойство методов суммирования называют линейностью.

Поэтому для всех достаточно больших справедлива оценка> /2, т.е. → +∞ при → ∞.

Теорема доказана.

Метод суммирования называют регулярным, если он суммирует все ряды, сходящиеся к конечным пределам, и называют вполне регулярным, если он суммирует также и все ряды, сходящиеся к бесконечным пределам. Регулярность метода показывает, что суммирование этим методом согласуется со сходимостью, т.е. сходящиеся ряды суммируются к тому же пределу.

Привелем необходимые условия суммируемости рядов методом ( , 1).

Теорема 15.7.2. Если ряд (15.7.1) суммируется методом ( , 1) к конечному пределу, то для частных сумм и общего члена ряда справедливы оценки

В силу суммируемости ряда к конечному пределу − −1 → 0 при → ∞. Последовательность { } ограничена, поскольку она имеет конечный предел. Поэтому из (15.7.5) следует, что

т.е. справедлива первая оценка (15.7.4). А так как

= − −1,

то справедлива и вторая из этих оценок. Теорема доказана.

Эту теорему можно рассматривать как некоторый аналог теоремы 15.1.2 о стремлении к нулю общего члена сходящегося ряда.

Покажем, что для рядов, не имеющих членов разных знаков, суммируемость методом средних арифметических равносильна сходимости.