§ 19.11. Другие ортонормированные системы функций

234Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Втеории вероятностей система Радемахера используется для представления случайных величин.

19.11.2. Система Уолша. Система функций Уолша { ( )}

является пополнением в метрике 2[0, 1] системы Радемахера до полной системы.

Положим 0( ) := 0( ). Чтобы построить функции ( ) при= 1, 2, . . . , представим в виде суммы степеней числа 2:

=0

где при каждом = 0, 1, . . . , − 1 числа равны или 0 или +1, а = 1.

При этом в устранимых точках разрыва функций ( ), возникающих в нулях функций Радемахера, функции Уолша продолжают по непрерывности.

При = 1, 2, 3 функции Уолша задаются равенствами 1( ) =

1( ), 2( ) = 2( ), 3( ) = 1( ) 2( ).

Согласно (19.11.2) функциями ( ) являются всевозможные произведения конечного числа различных функций Радемахера.

Нормированность функций ( ) очевидна. Доказательство ортогональности функций Уолша основано на тех же соображениях, что и для функций Радемахера. Отметим, что система функций Уолша { ( )} полна также в пространствах [0, 1] и [0, 1],

> 1.

Ряды Фурье по системе Уолша называют рядами Фурье–Уол- ша. Формула (19.11.2) задает систему Уолша как упорядоченную систему функций. Многие свойства рядов Фурье–Уолша, порядок расположения функций в которых задан формулой (19.11.2), аналогичны свойствам тригонометрических рядов Фурье.

Благодаря полноте системы Уолша и тому, что каждая функция ( ) принимает значения +1 и −1 всюду (за исключением конечного числа точек), ряды по системе Уолша находят приложения в прикладных исследованиях (проблемы передачи информации, радиолокация).

19.11.3. Система Хаара. Это полная ортонормированная система функций на отрезке [0, 1].

Положим 0( ) ≡ 1. Дальнейшие функции системы Хаара строятся как кусочно постоянные функции на двоичных интервалах отрезка [0, 1] следующим образом. Функцию 1( ) полагают равной +1 на [0, 1/2) и равной −1 на (1/2, 1].

на (1/2, 1]. √ А функция √3( ) равна нулю на [0, 1/2), равна + 2, на (1/2,

3/4) и равна − 2 на (3/4, 1]. Таким образом, значения функции 3( ) на интервале (1/2, 1) получены с помощью сдвига на

В точках разрыва эти функции, как и все последующие функции системы Хаара определяются как полусумма пределов справа и слева. На рисунке изображены графики функций ( ) при

= 1, 2, 3.

Далее строится блок из четырех функций Хаара. Сначала берут функцию, которая равна +2 на (0, 1/8), равна −2 на (1/8, 1/4) и равна нулю на (1/4, 1). Здесь значения +2 и −2 выбраны для нормировки.

Затем значения этой функции сдвигаются с (0, 1/4) на (1/4, 1/2), потом на (1/2, 3/4) и, наконец, на (3/4, 1). В концах интервалов, содержащихся в (0, 1), функции полагаются равными полусумме пределов справа и слева. А в концах отрезка [0, 1] функции Хаара продолжаются по непрерывности.

236 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

По указанной схеме строятся дальнейшие функции системы Хаара. При переходе к каждому следующему блоку функций их носители уменьшаются наполовину.

Свойства рядов Фурье–Хаара отличаются от свойств рядов по тригонометрической системе значительно.

Так, ряды Фурье–Хаара непрерывных функций сходятся равномерно к этим функциям.

Но коэффициенты Фурье–Хаара непрерывных функций не могут убывать очень быстро. Именно, если для коэффициентов Фурье–Хаара непрерывной функции при → +∞ справедлива оценка = ( −3/2), то эта функция тождественно равна нулю.

Неудобство системы Хаара состоит в том, что эти функции не являются равномерно ограниченными, т.е. не существует такого числа , что для всех и выполняется неравенство | ( )| 6 .

Ряды Фурье–Хаара хорошо отражают локальные свойства функций. Это можно объяснить так. Если функция равна нулю вне некоторого интервала, то для всех функций системы Хаара, носители которых не пересекаются с этим интервалом, коэффициенты Фурье–Хаара функции равны нулю.

В последние годы XX века интенсивно развивались исследования по представлению функций рядами по системам всплесков (вейвелетов, от английского wavelet). Отметим, что система Хаара является простейшей и исторически первой системой всплесков.

Значение рядов по системам всплесков определяется тем, что они, как и ряды по системе Хаара, хорошо учитывают локальные

свойства функций. Благодаря этому, ряды по всплескам широко используются в проблемах передачи информации.

19.11.4.Ортогональные многочлены. Ортогональные многочлены обычно определяют на отрезке [−1, 1]. Для простоты будем рассматривать пространство действительнозначных функций, в котором введено скалярное произведение

∫ 1

( , ) := ( ) ( ) . (19.11.3)

−1

Если провести ортогонализацию по Шмидту системы степеней0 = 1, , 2, . . . относительно скалярного произведения (19.11.3), получим систему многочленов, которые называются многочленами Лежандра.

Рассматриваются также ортогональные многочлены относительно более общего скалярного произведения, чем (19.11.3),

∫ 1

( , ) := ( ) ( ) ( ) ,

−1

где функция ( ), которую называют весовой функцией или весом, неотрицательна и интегрируема.

Система многочленов Чебышева ( ) = cos arccos первого рода образует ортогональную систему относительно веса

√ 1 .

1 − 2

В самом деле, если ̸= , то с помощью замены = cos находим

0

√

Систему многочленов, ортогональных с весом 1 − 2, называют системой многочленов Чебышева второго рода.

Многочлены, ортогональные с весом (1 − 2) , > −1, называют многочленами Гегенбауера или ультрасферическими много-