( ) ( )

(1 + 2 −1)(1 + 2 ) = 1 − √ 1 + √ + = 1 − √ .

Значит, сходится произведение

∞

∏

(1 + 2 −1)(1 + 2 ),

=1

а поскольку → 0 при → ∞, сходится и произведение (15.8.7).

§ 15.9. Двойные ряды

Двойным числовым рядом называется формально записанное выражение

∞∞

∑∑

=1 =1

где члены ряда , – действительные или комплексные числа.

Для рядов

∞

∑

=1

члены которых имели один индекс, сходимость определялась как сходимость последовательности частных сумм, составленных из начальных членов ряда.

Для двойных рядов такого единого естественного способа построения частных сумм нет. Частными суммами называют суммы любого конечного набора членов ряда и в разных случаях рассматривают сходимость различных последовательностей частных сумм.

При этом на последовательности частных сумм, сходимость которых принимается в качестве определения сходимости ряда,

накладывается условие, что каждый член ряда входит во все частные суммы этой последовательности, начиная с некоторой.

При построении частных сумм ряда (15.9.1) для наглядности считают, что числам , соответствуют точки ( , ) координатной плоскости.

Наиболее часто используются прямоугольные частные суммы

=1 =1

соответствующие прямоугольникам [1, ]×[1, ], расположенным в первом квадранте.

Рис. 15.2.

Определение. Ряд (15.9.1) называют сходящимся к числу по Прингсхейму (по прямоугольникам), если для каждого положительного существует такое = ( ), что для всех , > справедлива оценка

При этом пишут

∞∞

Таким образом, числа и стремятся к бесконечности одновременно, но независимо друг от друга.

Рассматривается также вариант сходимости по прямоугольникам, когда требуется, чтобы оценка (15.9.3) имела место не для всех , > , а только для тех, для которых существуют такие

Это называют сходимостью по прямоугольникам с ограниченным отношением.

Сходимость последовательности , называют сходимостью ряда (15.9.1) по квадратам.

Приведем еще два классических определения сходимости двойных рядов.

Это – сходимость по треугольникам, когда сходятся частные суммы

и сходимость по кругам, когда сходятся частные суммы

Рис. 15.3.

Название “сходимость по кругам” легко объяснить, если рассматривать не ряд (15.9.1), а ряд

+∞ +∞

∑ ∑

, .

=−∞ =−∞

Сходимость двойных рядов по треугольникам фактически встречалась при исследовании произведений двух рядов

∞∞

∑ ∑

, .

=1 =1

Согласно теореме 15.5.6 Мертенса, если один из этих рядов сходится, а другой сходится абсолютно, то сходится ряд

Частные суммы ряда (15.9.4) представляют собой суммы членов ряда

∞∞

∑∑

=1 =1

по треугольникам.

Из сходимости ряда (15.9.2) следует стремление общего члена ряда к нулю и, следовательно, ограниченность всех членов ряда.

Рассмотрим такие вопросы для двойных рядов.

Теорема 15.9.1. Если ряд (15.9.1) сходится по Прингсхейму, то

lim , = 0,

когда и стремятся к бесконечности независимо друг от друга.

Этот результат выводится с помощью представления

, = , − −1, − ( , −1 − −1, −1).

Но ограниченность членов ряда из сходимости по Прингсхейму не следует. Например, если 1, = , 2, = − , а все остальные члены ряда равны нулю, то при > 2 и всех имеем , = 0.

На этом примере видно также, что из сходимости ряда по Прингсхейму не следует ни сходимость по треугольникам, ни сходимость по кругам.

Из простейших свойств пределов вытекает следующее утверждение.

Теорема 15.9.2. Пусть ряды

сходятся при некотором способе построения частных сумм. Тогда при том же определении сходимости сходится ряд

∞∞

∑∑

( , + , ),

=1 =1

Ясно, что если двойной ряд сходится по Прингсхейму, то он сходится и по прямоугольникам с ограниченным отношением, а ряды, сходящиеся по прямоугольникам с ограниченным отношением, сходятся по квадратам.

За исключением этих очевидных случаев для каждой пары из указанных выше определений сходимости двойных рядов существуют ряды, сходящиеся при одном определении и расходящиеся при другом.

Если сходимость двойного ряда определена как сходимость последовательности частных сумм, зависящей от одного параметра (например, сходимость по квадратам, по треугольникам или по кругам), то критерий Коши сходимости двойного ряда получается простой перефразировкой критерия Коши сходимости последовательностей, зависящих от одного индекса.

Получим критерий Коши сходимости двойных рядов по прямоугольникам.

Теорема 15.9.3 (Критерий Коши сходимости ряда по Прингсхейму). Для того чтобы ряд (15.9.1) сходился по Прингсхейму, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительногосуществовало число такое, что оценка

| , − , | <

выполняется для любой пары точек ( , ), ( , ), все координаты которых превосходят .

Доказательство. Необходимость устанавливается стандартными рассуждениями. Если ряд (15.9.1) сходится и – его сумма, то по > 0 выбираем так, чтобы для точек ( , ), ( , ), все координаты которых превосходят , были справедливы оценки

а затем оцениваем разность

| , − , | 6 | , − | + | − , | < .

Докажем достаточность. Из условия Коши сходимости ряда по Прингсхейму следует, что выполнено условие Коши для последовательности частных сумм по квадратам , . Значит, последовательность { , } сходится. Обозначим ее предел .

Выберем по > 0 число так, чтобы для всех , , превосходящих , имели место оценки

| , − | < 2

и

| , − , | < 2 .

Тогда

| , − | 6 | , − , | + | , − | < .

Значит, ряд (15.9.1) сходится по Прингсхейму и теорема доказана.

Отметим на рисунках, по каким точкам ( , ), ( , ) могут браться члены ряда (15.9.1) при построении разностей , − , в условии Коши.

Рис. 15.4.

Поэтому условие Коши можно сформулировать так: для каждого положительного существует такое, что для любых чисел, , , таких, что > > , > > , справедливы оценки

В самом деле, разность , − , можно представить как линейную комбинацию сумм, участвующих в (15.9.5).

Ряд с общим членом (15.9.8) не сходится по Прингсхейму. В этом легко убедиться, рассмотрев частные суммы , . Этот факт вытекает и из следующего предложения.

Теорема 15.9.4 (Теорема Прингсхейма). Если ряд (15.9.1)

сходится по Прингсхейму и для каждого сходится ряд

∞

∑

=1

то повторный ряд (15.9.6) сходится и его сумма равна сумме ряда (15.9.1).

Доказательство. Пусть – сумма ряда (15.9.1) по Прингсхейму и , – частные суммы этого ряда по прямоугольникам.

По условию для каждого > 0 существует такое , что для всех , > имеет место оценка

Из (15.9.10) в пределе при → ∞ получаем, что для всех >

∞

∑∑

=1 =1

Эта оценка доказывает и сходимость повторного ряда (15.9.6) и равенство сумм рядов (15.9.6) и (15.9.1).

Теорема доказана.

Теорема 15.9.4 является аналогом теоремы 11.3.2 о повторных пределах функций двух переменных.

Рассмотрим вопрос о равенстве для двойных рядов сумм повторных рядов.

Теорема 15.9.5 (Теорема Маркова). Пусть повторный ряд

∞ ( ∞ )

необходимо и достаточно существование предела := lim →∞ , где – сумма ряда (15.9.11), и условие = 0 необходимо и достаточно для равенства сумм повторных рядов.

Доказательство. Имеем

∞∞

Каждое слагаемое в правой части этого равенства является членом сходящегося ряда по . Значит, сходится ряд по из величин в левой части, т.е. доказана сходимость ряда (15.9.11).

Далее, для каждого

Поэтому существование предела lim →∞ равносильно сходимости ряда (15.9.12), а условие = 0 необходимо и достаточно для равенства сумм повторных рядов.

Теорема доказана.

Построим для ряда (15.9.1) ряд из модулей его членов

∞∞

∑∑

| , |. (15.9.13)

=1 =1

Если все частные суммы ряда (15.9.13), т.е. значения сумм всевозможных конечных наборов членов этого ряда, ограничены, ряд (15.9.1) называют абсолютно сходящимся.

Имея в виду изучение абсолютной сходимости двойных рядов, рассмотрим ряды с неотрицательными членами

∞∞

∑∑

=1 =1

Теорема 15.9.6. Если множество частных сумм ряда (15.9.14) с неотрицательными членами ограничено, то при любом способе построения последовательностей частных сумм этот ряд сходится и притом к одному и тому же значению.

Пусть – верхняя грань значений всех частных сумм ряда (15.9.14). По заданному > 0 найдем такую частную сумму , что − < .

Для произвольной последовательности частных сумм ряда (15.9.14) все члены ряда, составляющие , входят во все частные