19.10 Преобразование Фурье

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Функциональные последовательности и ряды

Файл:

Telyakovsky_3_semestr.pdf

Скачиваний:

318

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3229 30 31 32 > Следующая >>>

§ 19.10. Преобразование Фурье			225
Функция	2		)
(	2		)
( ) := +	−	( + 1)
( ) := +		( + 1)

непрерывна на [−1, 1], значит, существует алгебраический многочлен ( ), для которого справедлива оценка

| ( ) − ( )| < , [−1, 1].

Возвращаясь к переменной по формуле

−

= 2 − − 1,

видим, что многочлен ( ) переходит в многочлен относительно переменной .

Теорема доказана.

Понятно, что имеет место аналог теоремы 19.9.2 о полноте си-

стемы степеней в пространствах [ , ], > 1. Не будем говорить здесь об этом подробно.

§ 19.10. Преобразование Фурье

Тригонометрические ряды используются для представления функций периода 2 . Аналогом рядов Фурье для представления функций, заданных на всей оси, является преобразование Фурье.

Рассмотрим функцию (−∞, +∞) и для каждого > 0 построим интегралы

	1	+∞
( ) :=		∫−∞ ( ) cos

и	1	+∞

( ) :=		∫−∞ ( ) sin ,

являющиеся аналогами коэффициентов Фурье. Их называют косинус- и синус-преобразованиями Фурье функции соответственно.

Покажем, что функции ( ) и ( ) непрерывны на [0, +∞). Оценим приращение функции ( ), когда аргумент получает

приращение . Сначала по > 0 находим финитную непрерывную функцию ( ) такую, что

∫ ∞

| ( ) − ( )| < .

−∞

226 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Тогда

| ( + ) − ( )| =

+∞

∫−∞

( )(cos( + ) − cos )

∞

∫−∞

−

( )(cos( + )

cos )

∞

∫−∞

( ( )

−

( ))(cos( + )

−

cos )

∞

( )2 sin

sin

∫−∞

(

)

∞

( )

−

( )

∫−∞ |

+∞

| | ∫−∞ | ( ) · |

В силу финитности функции ( ) интеграл

∫ +∞

| ( ) · |

−∞

сходится. Поэтому при достаточно малых выполняется оценка | ( + ) − ( )| < . Отсюда вытекает равномерная непрерывность функции ( ). Для ( ) доказательство такое же.

Аналогами членов ряда Фурье являются выражения

	1	+∞
( ) cos + ( ) sin =		∫−∞ ( ) cos ( − ) .
( ) cos + ( ) sin =		∫−∞ ( ) cos ( − ) .

Здесь переменная принимает произвольные неотрицательные значения.

Аналогом частных сумм ряда Фурье являются интегралы

∫

( , ) := [ ( ) cos + ( ) sin ] , (19.10.1)

где > 0 и изменяется непрерывно, принимая все неотрицательные значения. Эти интегралы называют частными преобразованиями Фурье.

§ 19.10. Преобразование Фурье

227

Выведем для интеграла (19.10.1) представление, аналогичное представлению частной суммы ряда Фурье (19.3.2). Имеем

	1		+∞
( , ) =		∫0	( ∫−∞ ( ) cos ( − ) ) =

	1		+∞
=		∫0	( ∫−∞ ( + ) cos ) .	(19.10.2)

Если изменить порядок интегрирования, получим
	1	+∞
( , ) =		∫−∞	( + )( ∫0		cos ) =

	1	+∞		sin
=		∫−∞	( + )			.	(19.10.3)

Дадим обоснование возможности изменения порядка интегрирования в интеграле из (19.10.2).

Согласно теореме 19.1.2 при > 0 для каждого > 0 существует непрерывная финитная функция ( ), для которой справедлива оценка

	+∞
	∫−∞ \| ( ) − ( )\| <		.
	∫−∞ \| ( ) − ( )\| <	2	.
Поэтому	( + ) cos ) −
∫ (∫ +∞	( + ) cos ) −

0 −∞	∫ (∫ +∞ ( + ) cos )
−	∫ (∫ +∞ ( + ) cos )	6

0−∞

+∞

∫0

( ∫−∞ | ( + ) − ( + )| )

(19.10.4)

( + ) cos ) −

+∞

∫−∞

(∫0

∞

− ∫−∞ (∫0

( + ) cos

)

∞

−

| ∫0

6 ∫−∞

( + )

. (19.10.5)

cos

228 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Так как функция ( ) финитна, при каждом интеграл по переменной

+∞	( ∫0
∫−∞	( ∫0	( + ) cos )

является собственным. Поэтому в этом интеграле изменение порядка интегрирования возможно и из (19.10.4) и (19.10.5) вытекает оценка

∫ (∫ +∞	( + ) cos ) −

0 −∞	(∫0
+∞			< .
− ∫−∞		( + ) cos )	< .

Интегралы в этом неравенстве не зависят от , значит, они равны. Таким образом, представление (19.10.3) обосновано.

Теорема 19.10.1. Пусть функция ( ) (−∞, +∞), а 2 - периодическая функция 0( ) принадлежит [− , ].

Если ( ) = 0( ) на некотором отрезке [ , ], то для частного преобразования Фурье функции ( )

	1	∞	sin
( , ) =		∫−∞ ( + )

и частной суммы ряда Фурье функции 0( )

( 0		2 sin /2	,	= [ ],
	, ) = ∫− 0( + )
	1	sin( + 1/2)

при → ∞ справедлива равномерная относительно [ ′, ′] оценка

( , ) − ( 0, ) → 0,

где [ ′, ′] – произвольный отрезок, принадлежащий интервалу

( , ).

Доказательство. Выберем положительное число

( )

< min ′ − , − ′, 2 .

Тогда 0( + ) = ( + ), если [ ′, ′] и | | 6 .

§ 19.10. Преобразование Фурье		229
Используя теорему 19.5.1, получаем
		+ ( ),
( , ) = ∫− ( + )
1	sin

где ( ) → 0 при → ∞ равномерно относительно из любого конечного отрезка.

Преобразуем частную сумму ряда Фурье функции 0. С помощью представления (19.7.3) ядра Дирихле, находим

( 0				+
( 0	, ) = ∫− 0( + )sin			+
		1
				2 ctg	2 −		)
			+ ∫− 0( + )(	2 ctg	2 −		)
			1	1		1


+ 2 ∫− 0( + ) cos +
1

∫

+ 1 0( + ) ( ) .

6| |6

sin +

(19.10.6)

Второй, третий и четвертый интегралы из правой части равенства (19.10.6) согласно обобщенной лемме Римана для пери-

одических функций стремятся при → ∞ к нулю равномерно относительно [ ′, ′].

Следовательно, с точностью до слагаемого, стремящегося при→ ∞ к нулю равномерно относительно [ ′, ′], разность

( , ) − ( 0, )

равна

( + )

−

. (19.10.7)

∫−

∫− ( + )

sin

Если = + , где 0 6 < 1, то

cos( − 2 ) .

sin − sin = sin − sin( − ) = 2 sin 2

Значит, разность (19.10.7) равна

2 cos( −

2 ) .

∫− ( + ) sin

230 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Этот интеграл согласно лемме 19.5.2 стремится к нулю при→ ∞ равномерно относительно из любого конечного промежутка.

Теорема доказана.

Таким образом, если функция принадлежит (−∞, ∞) и при некотором удовлетворяет условиям, обеспечивающим сходимость рядов Фурье в точке, то при этом

	1	+∞	+∞
( ) =		∫0	( ∫−∞ ( + ) cos ) .	(19.10.8)

А если на некотором интервале ( , ) удовлетворяет условиям, обеспечивающим равномерную сходимость рядов Фурье на отрезках, лежащих в ( , ), то интеграл по переменной в (19.10.2) сходится равномерно на таких отрезках.

Преобразование Фурье удобно записывать в комплексной фор-

ме.

Согласно формуле Эйлера (16.7.10) из (19.10.2) следует, что

+∞

( , ) =

∫0

( ∫−∞ ( + )( + − ) ) =

+∞

∫−

( ∫−∞ ( + ) − ) .

Поэтому вместо равенства (19.10.8) имеем

)

( ) =

+∞

−

→+∞ ∫−

( ∫−∞

lim

( + )

Запишем это равенство с помощью интеграла в смысле главного значения

	1		+∞	+∞
( ) =		v. p.	∫−∞	( ∫−∞ ( + ) − ) .	(19.10.9)
	2

Именно это равенство имелось в виду в § 9.10, когда вводилось понятие интеграла в смысле главного значения.

Формуле (19.10.9) можно придать более симметричный вид. Именно,

	1			∞	+∞
( ) =			v. p. ∫−∞( ∫−∞ ( ) − ( − ) ) =
	2
	1			∞	1		+∞
=	√			v. p. ∫−∞(	√		∫−∞ ( ) − ) .
		2				2

§ 19.10. Преобразование Фурье

231

Определение. Для функций ( ) из пространства (−∞,

+∞) прямым преобразованием Фурье называют функцию

1		∞
( ) := √2		∫−∞ ( ) − ,
̂

а обратным преобразованием Фурье – функцию

1		∞
( ) := √2		∫−∞ ( ) .
̃

Таким образом, формула (19.10.9) означает, что функция равна обратному преобразованию Фурье от прямого преобразования Фурье, где интеграл, задающий обратное преобразование Фурье, понимается в смысле главного значения.

Найдем преобразование Фурье производной и производную преобразования Фурье, используя запись преобразований Фурье в комплексной форме.

Теорема 19.10.2. Пусть функция ( ) непрерывна на всей оси, а ее производная ′( ) локально кусочно непрерывна, т.е. кусочно непрерывна на каждом конечном отрезке. Если ( ) и′( ) принадлежат (−∞, +∞), то справедливо равенство

̂′( ) = ̂( ).

Доказательство. В силу кусочной непрерывности производной ′( ) при каждом имеем

∫

( ) = (0) + ′( ) .

Отсюда вследствие интегрируемости на (−∞, +∞) производной′( ) следует, что существуют конечные пределы

					lim ( ),			lim ( ).
					→+∞			→−∞
	Так как функция ( ) интегрируема на (−∞, +∞), оба эти
предела равны 0. Поэтому
	1			+∞
′( ) =		√		∫−∞	′( ) − =
′( ) =		√	2	∫−∞	′( ) − =
̂	1				+∞		1	+∞
	= √2			( ) − =		−∞	− √2	∫−∞ ( )(− ) − = ( ).
						−∞		̂
								̂

Теорема доказана.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3229 30 31 32 > Следующая >>>