74 |
Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды |
Эта теорема устанавливается стандартным образом с помощью критерия Коши.
До сих пор говорилось о равномерной сходимости последовательностей функций. Но равномерная сходимость рассматривается и в более общей ситуации.
Определение. Пусть функция (x, t) задана на декартовом произведении × , где и – некоторые множества конечномерных евклидовых пространств или комплексной плоскости, и t0 – предельная точка множества . Функцию (x, t) называют равномерно сходящейся на множестве к функции (x) при t → t0, t , если для каждого > 0 существует такое ( ) > 0, что для всех x и всех t , для которых 0 < |t − t0| < , справедлива оценка
| (x, t) − (x)| < .
Здесь t0 – точка пространства, которому принадлежит множество , а |t − t0| обозначает расстояние между точками t и t0 этого пространства. Нетрудно переформулировать это определение для случая, когда t0 – бесконечный символ.
§ 16.2. Признаки равномерной сходимости
Начнем с признака сравнения для функциональных рядов.
Теорема 16.2.1 (признак Вейерштрасса). Пусть на множестве заданы ряды
∞∞
∑ ∑
(x), (x)
=1 =1
и в каждой точке x при всех справедливы оценки | (x)| 6(x). Тогда
1 ) если ряд |
(x) равномерно сходится на , то ряд |
(x) |
|||
сходится∑на абсолютно и равномерно; |
∑ |
||||
|
, то и |
∑ |
|
|
|
2 ) если ряд (x) не является равномерно сходящимся на |
|||||
на . |
|
∑ |
|
|
|
|
|
ряд (x) не является равномерно сходящимся |
|||
Доказательство. В этой теореме функции (x) неотрицательны, а функции (x) могут быть комплекснозначными.
§ 16.2. Признаки равномерной сходимости |
75 |
1 . Если ряд ∑ (x) равномерно сходится на , то пользуясь критерием Коши (теорема 16.1.3) как необходимым условием, видим, что для каждого положительного существует число= ( ) такое, что для всех точек x и всех чисел > >
справедлива оценка
∑
(x) < .
=
Значит, при этих x, и
|
|
|
∑ |
∑ |
∑ |
|
(x) 6 |
| (x)| 6 |
(x) < . |
(16.2.1) |
= |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь теперь критерием Коши как достаточным услови- |
|||||||||
дятся равномерно на . |
∑ =1 |
|
∑ =1 | |
|
|
(x) |
| |
схо- |
|
ем, из (16.2.1) получаем, что ряды |
∞ |
(x) и |
∞ |
|
|
||||
2 . Это утверждение вытекет из 1 . Если бы ряд ∑ (x) равномерно сходился, то согласно 1 ряд ∑ (x) также был бы равномерно сходящимся.
Теорема доказана.
Важным случаем теоремы 16.2.1 является утверждение, которое также называют признаком Вейерштрасса, когда в качестве
∑
(x) берется числовой ряд, сходимость которого можно рассматривать как равномерную сходимость функционального ряда.
Получим для равномерной сходимости функциональных рядов аналоги признаков Дирихле и Абеля сходимости числовых рядов.
Теорема 16.2.2 (Признак Дирихле). Пусть последовательность действительнозначных монотонных в каждой точке множества функций { (x)} сходится к нулю равномерно на .
∑
Если частные суммы ряда (x), где (x) – комплекснозначные функции, равномерно ограничены на , то ряд
∞
∑
(x) ( ) |
(16.2.2) |
=1
сходится на равномерно.
Доказательство. Отметим, что характер монотонности последовательности чисел { (x)} в разных точках множества
76 |
Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды |
может быть различным: в одних точках эта последовательность может возрастать, а в других – убывать.
∑
Равномерная ограниченность частных сумм ряда (x) означает, что существует такое число , что для всех x и всех справедлива оценка
|
|
∑ |
|
(x) < .
=1
Поэтому для всех x и всех > имеем
|
|
|
∑ |
|
∑ |
(x) =
−1
∑
(x) −
(x) < 2 .
= |
=1 |
=1 |
В силу равномерной сходимости функций (x) к нулю для каждого > 0 существует такое, что для всех > и всех x справедлива оценка
8 .
Воспользуемся леммой Абеля 15.4.6. Так как при каждом x последовательность { (x)} монотонна, то согласно оценке (15.4.17) для каждой точки x при всех > >
|
(x) (x) 6 2 · 2 (| (x)| + | (x)|) < 4 (8 |
+ 8 ) |
= . |
||||
= |
|||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее ссылаемся |
на критерий Коши. |
|
|
|
|
||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|||
Теорема 16.2.3 (Признак Абеля). Пусть последовательность действительнозначных функций { (x)} в каждой точке множества монотонна и все эти функции ограничены на
∑
числом . Если ряд (x) равномерно сходится на , то и ряд (16.2.2) равномерно сходится на .
Доказательство. Здесь, как и в признаке Дирихле, функции (x), вообще говоря, комплекснозначные, а характер монотонности последовательности (x) в разных точках множестваможет быть различным.
∑
Пользуясь равномерной сходимостью ряда (x), по > 0 находим такое , что для всех x и всех > >
|
|
(x) < 4 . |
||
∑ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
§ 16.2. Признаки равномерной сходимости |
77 |
Поэтому, если > > , то с помощью леммы Абеля 15.4.6 находим
|
(x) (x) 6 2 · 4 (| (x)| + | (x)|) < |
2 · 2 = . |
|||
= |
|||||
∑ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство завершается ссылкой на критерий Коши.
Теорема 16.2.4 (Признак Дини). Пусть функции (x), = 1, 2, . . . , непрерывны на компакте и в каждой точке x значения функций (x) возрастают. Если последовательность { (x)} при → ∞ сходится к непрерывной на функции, то сходимость этой последовательности является равномерной на .
Доказательство. Пусть (x) обозначает предел последовательности { (x)} и (x) := ( ) − ( ). Тогда последовательность непрерывных функций { (x)} в каждой точке x сходится к нулю, монотонно убывая.
При заданном > 0 для каждой точки x выберем индекс(x) такой, что 0 6 (x)(y) < для всех y из некоторой окрестности (x) точки x. Эти окрестности являются открытыми множествами.
Таким образом, компакт покрыт набором открытых множеств (x). Согласно лемме Гейне–Бореля (теорема 11.2.6) из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Пусть такое конечное подпокрытие осуществляют окрестности (x1),
(x2), . . . , (x ).
Положим := max( (x1), (x2), . . . , (x )). Тогда в силу убывания в каждой точке x последовательности значений { (x)} для всех x и всех > имеем
0 6 (x) < .
Следовательно, последовательность функций { (x)} сходится к (x) равномерно на .
Теорема доказана.
Из теоремы 16.2.4 вытекает следующий результат для рядов.
Теорема 16.2.5 (Признак Дини). Пусть ряд
∞
∑
(x) |
(16.2.3) |
=1