Оглавление |
|
Введение |
5 |
Глава 15. Числовые ряды |
6 |
§ 15.1. Определение ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
§ 15.2. Простейшие признаки сравнения . . . . . . . . . . |
11 |
§ 15.3. Ряды с монотонными членами . . . . . . . . . . . |
17 |
§ 15.4. Более тонкие признаки сходимости . . . . . . . . . |
26 |
§ 15.5. Абсолютно сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . |
35 |
§ 15.6. Теорема Римана о перестановках членов ряда . . |
42 |
§ 15.7. Суммирование рядов методом средних арифмети- |
|
ческих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
§ 15.8. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . |
49 |
§ 15.9. Двойные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
§ 15.10. Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . |
64 |
Глава 16. Функциональные последовательности и ря- |
|
ды |
69 |
§ 16.1. Равномерная сходимость функциональных после- |
|
довательностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
§ 16.2. Признаки равномерной сходимости . . . . . . . . . |
74 |
§ 16.3. Предельный переход в равномерно сходящихся ря- |
|
дах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
§ 16.4. Почленное дифференцирование равномерно сходя- |
|
щихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
81 |
§ 16.5. Почленное интегрирование равномерно сходящихся |
|
рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
85 |
§ 16.6. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
§ 16.7. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
§ 16.8. Суммирование рядов методом Абеля–Пуассона . |
109 |
§ 16.9. Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . |
115 |
Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра |
118 |
§ 17.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра |
118 |
§ 17.2. Равномерная сходимость несобственных интегралов |
126 |
§ 17.3. Свойства равномерно сходящихся интегралов . . |
130 |
§ 17.4. -функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
137 |
§ 17.5. B-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
143 |
§ 17.6. Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . |
150 |
3
4 |
Оглавление |
|
Глава 18. Ортонормированные системы в гильберто- |
|
|
|
вом пространстве |
152 |
|
§ 18.1. Нормированные и гильбертовы пространства . . . |
152 |
|
§ 18.2. Ортонормированные системы . . . . . . . . . . . . |
166 |
|
§ 18.3. Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . |
177 |
Глава 19. Ряды Фурье по тригонометрической систе- |
|
|
|
ме |
179 |
|
§ 19.1. Класс функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
179 |
|
§ 19.2. Коэффициенты Фурье по тригонометрической си- |
|
|
стеме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
184 |
|
§ 19.3. Сходимость ряда Фурье в точке . . . . . . . . . . |
187 |
|
§ 19.4. Пример непрерывной функции, ряд Фурье кото- |
|
|
рой расходится в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
195 |
|
§ 19.5. Равномерная сходимость рядов Фурье . . . . . . . |
198 |
|
§ 19.6. Почленное дифференцирование и интегрирование |
|
|
рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
209 |
|
§ 19.7. Явление Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
214 |
|
§ 19.8. Суммирование рядов Фурье методом средних ариф- |
|
|
метических . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
218 |
|
§ 19.9. Теоремы Вейерштрасса о полноте . . . . . . . . . |
221 |
|
§ 19.10. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . |
225 |
|
§ 19.11. Другие ортонормированные системы функций . |
232 |
|
§ 19.12. Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . |
238 |
Краткие сведения об ученых, упоминаемых в тексте |
240 |
|
Введение
Материал третьего семестра составляют в основном ряды – числовые (гл. 15), функциональные (гл. 16), тригонометрические ряды Фурье (гл. 19). Близка к рядам в идейном смысле и гл. 17, посвященная интегралам, зависящим от параметра.
Несколько особняком от обычного содержания курсов математического анализа стоит гл. 18 “Ортонормированные системы
вгильбертовом пространстве”. В этой главе излагаются начальные сведения из функционального анализа, однако лишь в том направлении и объеме, в котором они близки к традиционному содержанию математического анализа.
Одна из педагогических установок автора состоит в том, что
вначальном курсе математического анализа, обязательном для студентов первого и второго годов обучения, для более прочного усвоения материала не нужно гнаться за чрезмерной общностью и злоупотреблять включением сведений из других разделов математики, даже близких к математическому анализу.
Отметим, что настоящий текст, как и материал первого и второго семестров только небольшим числом вкраплений отличается от лекций, читавшихся автором на механико-математическом факультете МГУ.
Как и семестр I (Лекционные курсы Научно-образовательного центра МИАН, выпуск 11, 2009 г.), и семестр II (Лекционные курсы Научно-образовательного центра МИАН, выпуск 17, 2011 г.) настоящее 2-ое издание “Курса лекций” третьего семестра представляет собой доработанный вариант первого издания, выпускавшегося Центром прикладных исследований механико-матема- тического факультета МГУ в 2002–2004 гг.
Октябрь 2012 г. |
С. А. Теляковский |
5