§ 16.3. Предельный переход в равномерно сходящихся рядах

§ 16.3. Предельный переход в равномерно сходящихся рядах 79

Это доказывает сходимость ряда (16.3.1). Обозначим его сумму через .

Выберем для заданного положительного номер такой, что одновременно выполняются оценки

и здесь только конечное число слагаемых, существует такое > 0, что для всех x , удовлетворяющих условию 0 < (x, x0) < , имеем

Поэтому из (16.3.3) следует, что для всех x из проколотой-окрестности точки x0

| (x) − | < ,

т.е. существует предел lim (x) при x → x0 по множеству и имеет место равенство (16.3.2).

Теорема доказана.

Когда здесь говорилось о -окрестности, считалось, что x0 является точкой, а не бесконечным символом. Легко понять, как записать доказательство, если x0 – бесконечный символ.

Из теоремы 16.3.1 вытекает следующее утверждение.

Такой переход от последовательностей к рядам позволяет доказывать теоремы для рядов, а затем формулировать соответствующие утверждения для последовательностей. Разумеется, можно поступать и обратном порядке.

Из теоремы 16.3.3 вытекает другое доказательство того, что последовательность степеней { }, сходящаяся в каждой точке отрезка [0, 1], не сходится на этом отрезке равномерно, так как

вэтом случае предельная функция разрывна.

§16.4. Почленное дифференцирование равномерно сходящихся рядов

Вэтом и следующем параграфах рассматриваются функции одной переменной на отрезке [ , ] действительной оси. Функции считаем, вообще говоря, комплекснозначными.

Начнем с вопроса о дифференцировании равномерно сходящихся последовательностей.

Теорема 16.4.1. Пусть на отрезке [ , ] задана последовательность дифференцируемых функций { ( )}, сходящаяся в некоторой точке 0 , а последовательность производных { ′ ( )} сходится равномерно на [ , ]. Тогда на [ , ] последовательность { ( )} сходится равномерно, предельная функция

( ) := lim ( )

→∞

дифференцируема и справедливо равенство

Доказательство. Сначала установим равномерную сходимость последовательности { ( )} на [ , ].

Согласно критерию Коши из условий теоремы следует, что для каждого > 0 существует число такое, что при , > выполняются оценки

для всех [ , ].

Оценим величину

| ( ) − ( )| 6 6 |( ( ) − ( )) − ( ( 0) − ( 0))| + | ( 0) − ( 0)|.

Пользуясь формулой конечных приращений Лагранжа, видим, что между и 0 существует такая точка , что

( ( ) − ( )) − ( ( 0) − ( 0)) = ( ′ ( ) − ′ ( ))( − 0).

Поэтому для всех [ , ] в силу (16.4.3) и (16.4.2)

| ( ) − ( )| < ( − ) + = ( − + 1).

Значит, последовательность { ( )} сходится равномерно на отрезке [ , ].

Докажем теперь дифференцируемость функции и равенство (16.4.1).

Зафиксируем точку [ , ] и покажем, что последовательность функций

сходится равномерно на множестве 1 := [ , ] r { }. По определению функций

1( ) − ( ) = − (( ( ) − ( )) − ( ( ) − ( ))).

Согласно формуле конечных приращений Лагранжа между и существует такая точка , что

( ) − ( ) = ′ ( ) − ′ ( ).

Поэтому для и , при которых справедлива оценка (16.4.3), имеем

| ( ) − ( )| < .

Так как эта оценка имеет место при всех 1, она доказывает, что последовательность { ( )} сходится равномерно относительно , принадлежащих множеству 1.

Для каждой функции ( ), = 1, 2, . . . , существует предел

lim ( ) = ′ ( )

→

(в точках и это – односторонние производные).

Пользуясь теоремой 16.3.3 о предельном переходе в равномерно сходящихся последовательностях, получаем

Значит, функция имеет в точке производную, равную

lim ′ ( ).

→∞

Теорема доказана.

Заметим, что если в теореме 16.4.1 производные функций ( ) непрерывны, то согласно теореме 16.3.2 непрерывной будет и производная предельной функции.

Из теоремы 16.4.1 вытекает следующее утверждение о почленном дифференцировании рядов с равномерно сходящимся рядом производных.

Теорема 16.4.2. Пусть на отрезке [ , ] задан ряд

∞

∑

=1

в котором все функции ( ) дифференцируемы на [ , ]. Если ряд (16.4.4) сходится в некоторой точке 0 [ , ], а ряд произ-

водных

∞

∑

=1

сходится равномерно на [ , ], то на [ , ] ряд (16.4.4) сходится равномерно, его сумма дифференцируема и справедливо равенство

Опираясь на теорему 16.4.2, приведем пример функции, непрерывной на всей оси, но не имеющей производной ни в одной точке.

Этими свойствами обладает функция

непрерывность которой вытекает из равномерной сходимости ряда.

Рассмотрим в произвольной точке разность

∞

∑

( ± 2−3 −1) − ( ) = 2− [sin 8 ( ± 2−3 −1) − sin 8 ].

=1

Знак + или − выберем позднее.

Если > , то 8 · 2−3 −1 – целое четное число и в силу периодичности синуса

sin 8 ( ± 2−3 −1) = sin 8 .

Значит,

∑

( ± 2−3 −1) − ( ) = 2− [sin 8 ( ± 2−3 −1) − sin 8 ].

=1

(16.4.7) Пользуясь неравенством |sin − sin | 6 | − |, оценим сумму

До сих пор знак + или − в формуле (16.4.7) не имел значения. При каждом этот знак можно выбрать так, чтобы выполнялось