Глава 17. Интегралы, зависящие от параметра
§ 17.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть – множество точек ( , ) на плоскости, для координат которых выполняется условие 6 6 , ( ) 6 6 ( ), где и – некоторые функции, заданные на отрезке [ , ].
Рис. 17.1.
Предположим, что на определена функция ( , ), которая при каждом [ , ] интегрируема по на отрезке [ ( ), ( )].
Этот параграф посвящен изучению функции
∫ ( )
( ) := ( , ) . (17.1.1)
( )
Теорема 17.1.1. Если функции и непрерывны на отрезке [ , ], а функция ( , ) непрерывна на множестве , то функция ( ) непрерывна на [ , ].
Эта теорема будет получена из следующего утверждения.
Теорема 17.1.2. Если функция ( , ) непрерывна на прямоугольнике [ , ] × [ , ], то функция трех переменных , , , где
118
§ 17.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра |
119 |
и принадлежат [ , ],
∫
( , , ) := ( , )
непрерывна на параллелепипеде [ , ] × [ , ] × [ , ].
Доказательство. Так как функция ( , ) непрерывна на замкнутом прямоугольнике [ , ] × [ , ], существует такое число, что | ( , )| 6 во всех точках этого прямоугольника.
Придадим аргументам функции ( , , ) приращения, не выводящие точки ( , , ) за пределы параллелепипеда [ , ]×[ , ]× [ , ], и оценим приращение функции . Если ( , ) – модуль непрерывности функции ( , ) как функции двух переменных на прямоугольнике [ , ] × [ , ], то
| ( + , + , + ) − ( , , )| =
|
|
+Δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
∫ +Δ |
( + , ) − ∫ ( , ) |
6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
( ( + , ) |
− |
( , )) + |
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∫ +Δ |
( + , ) + |
|
|
( + , ) |
|
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
∫ |
( + , ) |
− |
( , ) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
| |
|
|
| |
|
|
+Δ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ +Δ |
|
|
|
|
|
|
|
| ( + , )| |
|
|||
|
|
+ |
| ( + , )| + ∫ |
|
6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
( , | |) |
+ | | + | | 6 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ( , | |)( − ) + (| | + | |). |
|
(17.1.2) |
|||||||||||||
Функция ( , ) на компакте [ , ] × [ , ] непрерывна, а значит, и равномерно непрерывна. Поэтому ее модуль непрерывности ( , ) стремится к нулю при → +0 и из (17.1.2) вытекает непрерывность функции ( , , ).
Теорема доказана.
120 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
Чтобы вывести теорему 17.1.1 из теоремы 17.1.2, возьмем числа и такие, что графики функций ( ) и ( ) лежат в прямоугольнике [ , ] × [ , ]. Затем продолжим функцию ( , ) с множества на этот прямоугольник, положив при каждом [ , ] значения функции ( , ) равными ( , ( )) для точек, лежащих ниже графика функции ( ), и равными ( , ( )) для точек, лежащих выше графика функции ( ). Нетрудно убедиться, что продолженная таким образом функция ( , ) непрерывна на
[ , ] × [ , ].
Теперь для получения теоремы 17.1.1 нужно воспользоваться тем, что
( ) = ( , ( ), ( ))
итеоремой о непрерывности сложной функции.
Непрерывность функции ( ) в точке 0 равносильна равенству
lim ( ) = ( 0).
→ 0
Поэтому утверждение теоремы 17.1.1 можно записать так: для
0 [ , ]
→ 0 |
( ) |
lim → 0 ( ) |
→ 0 |
∫ ( ) |
∫lim → 0 ( ) |
||
lim |
( , ) = |
|
lim ( , ) = |
∫ ( 0)
=( 0, ) .
( 0)
В частности, если пределы интегрирования не зависят от ,
→ 0 |
|
∫ |
|
∫ |
|
∫ |
→ 0 |
( 0, ) . |
|||
lim |
( , ) = |
|
lim ( , ) = |
|
|
Таким образом, теорему 17.1.1 можно рассматривать как утверждение о возможности предельного перехода под знаком интеграла. В теореме 16.3.3 был обоснован предельный переход под знаком интеграла, когда последовательность подынтегральных функций равномерно сходится. Теорема 17.1.1 относится к случаю, когда параметр, по которому осуществляется переход к пределу, изменяется непрерывно и от этого параметра зависят также и пределы интегрирования.
Задачу о переходе к пределу под знаком интеграла рассматривают и в более общей ситуации.
§ 17.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра |
121 |
Теорема 17.1.3. Пусть – множество точек на оси абсцисс, * – его предельная точка (возможно, бесконечная), на определены функции ( ) и ( ), для которых существуют пределы
lim ( ) = , |
lim ( ) = , |
(17.1.3) |
→ *, |
→ *, |
|
и для всех при некоторых числах и имеют место неравенства 6 ( ) 6 ( ) 6 .
Если функция ( , ) задана в точках ( , ), где , [ , ], и при каждом интегрируема по на отрезке [ , ], а при → *, , сходится к функции ( ) равномерно относительно [ , ], то функция ( ) интегрируема на [ , ]
и
( ) |
|
|
(17.1.4) |
→ *, ∫ ( ) |
∫ |
( ) . |
|
lim |
( , ) = |
|
Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность точек { } из , сходящуюся к *. Из равномерной сходимости функций ( , ) при → ∞ в силу теоремы 16.5.1 следует, что предельная функция ( ) интегрируема на отрезке [ , ] и для каждого отрезка [ , ], принадлежащего [ , ], справедливо равенство
|
|
|
|
|
|
(17.1.5) |
→∞ ∫ |
( |
, ) = |
∫ |
( ) . |
||
lim |
|
|
|
Имеем
∫ ( )
( , ) =
( )
= ∫ |
|
∫ ( ) ( , ) . |
( , ) + ∫ ( ) ( , ) + |
||
|
|
(17.1.6) |
Согласно (17.1.5) первый интеграл из правой части равенства (17.1.6) при → ∞ сходится к
∫
( ) .
Значения двух последних интегралов из правой части (17.1.6) стремятся к нулю при → ∞. В самом деле, в силу равномерной
122 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
сходимости последовательности функций { ( , )} к интегрируемой и, значит, ограниченной функции ( ) существует такое число , что | ( , )| 6 для всех и [ , ]. Поэтому
∫ |
|
( , ) 6 | − ( )|.
( )
Получена величина, стремящаяся к нулю в силу (17.1.3). Аналогично оценивается последний интеграл из правой части (17.1.6).
Итак, равенство (17.1.4) имеет место, если предел берется по
произвольной последовательности точек { } из , сходящейся к *.
Справедливость равенства (17.1.4), когда предел берется по→ *, , выводится отсюда с помощью таких же рассуждений, которые использовались в § 3.2 при доказательстве непрерывности по Гейне функций, непрерывных по Коши.
Теорема доказана.
Теорема 17.1.4 (Формула Лейбница). Пусть на отрезке [ , ]
функции ( ) и ( ) дифференцируемы и 6 ( ) 6 ( ) 6 . Если функции
( , ),
∂ ( , )
∂
непрерывны на прямоугольнике [ , ] × [ , ], то на [ , ] функция( ) дифференцируема и справедливо равенство
|
= |
|
|
( ) |
( , ) = |
|
|
|
|
||
∫ ( ) |
|
|
|
|
|||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( ) |
∂ ∂ |
+ ( , ( )) |
|
− ( , ( )) |
|
, |
|
|
∫ ( ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.1.7) |
|
которое называют формулой Лейбница.
Доказательство. Предположим сначала, что пределы интегрирования интеграла ( ) не зависят от . Пусть ( ) ≡ и( ) ≡ .
Так как
( + |
) |
− |
( ) |
∫ |
( + , ) |
− |
( , ) |
|||
|
|
= |
|
|
|
, |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
§ 17.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра |
123 |
|||||||
нужно доказать, что при → 0 |
|
|
|
|
||||
|
( ( + , |
− |
|
− |
∂ |
) → 0. |
|
|
∫ |
( , ) |
|
||||||
|
|
) |
|
|
∂ ( , ) |
|
|
|
Оценим разность, стоящую под интегралом, через модуль непрерывности производной ∂ /∂ на прямоугольнике [ , ] × [ , ].
По формуле конечных приращений Лагранжа
|
|
( + , ) − ( , ) |
= |
|
∂ ( + , ) |
, |
|
|
0 < < 1. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
( + , |
|
( , ) |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
∂ ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂ ( + , ) |
|
|
|
∂ ( , ) |
|
|
∂ |
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
, |
. (17.1.8) |
||||||
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∂ | |
|
|) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
производная ∂ /∂ непрерывна |
на компакте [ , ] × |
|||||||||||||||||||||||||||
[ , ], то |
|
|
|
|
|
(∂ , ) |
→ 0, |
|
|
|
|
→ +0, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в силу (17.1.8) при → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
∂ ( , ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
( + |
− |
|
|
|
→ |
∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|||||||||||||||||
Таким образом, для случая, когда пределы интегрирования( ) не зависят от , теорема доказана.
Чтобы доказать теорему в общем случае, рассмотрим функцию трех переменных
∫
( , , ) := ( , ) ,
где [ , ] и , [ , ].
Эта функция имеет частные производные по всем переменным и все эти производные непрерывны как функции трех переменных. Действительно, производная по непрерывна согласно
теореме 17.1.2, а так как |
|
|
||
∂ |
∂ |
|
||
|
|
= ( , ), |
|
= − ( , ) |
|
∂ |
∂ |
||
непрерывны и эти производные. |
|
|
||
124 |
Гл. 17. |
Интегралы, зависящие от параметра |
||||
|
По доказанному уже равенству (17.1.7) при постоянных пре- |
|||||
делах интегрирования |
|
|
|
|||
|
∂ |
∂ ( , ) |
|
|||
|
|
|
= |
∫ |
|
. |
|
|
∂ |
∂ |
|||
Эта производная непрерывна в силу теоремы 17.1.2.
Таким образом, в силу теоремы 12.1.2 функция ( , , ) дифференцируема и по правилу дифференцирования сложной функции получаем
( ) |
= |
|
( , ( ), ( )) = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
∂ |
( , ( ), ( )) + |
∂ |
( , ( ), ( )) |
+ |
|||||||
|
|
∂ |
∂ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
∂ |
( , ( ), ( )) |
( ) |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
||||
Отсюда вытекает равенство (17.1.7) в общем случае. Теорема доказана.
Теорема 17.1.5. Если функция ( , ) непрерывна на прямоугольнике [ , ] × [ , ], то функция
∫
( , )
интегрируема на отрезке [ , ] и справедливо равенство
∫ ( ∫ ( , ) ) = ∫ ( ∫ ( , ) ) . |
(17.1.9) |
Доказательство. Существование внешних интегралов в равенстве (17.1.9) вытекает из теоремы 17.1.1 о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Новым утверждением является равенство (17.1.9).
Рассмотрим функцию
∫
( , ) := ( , ) .
В силу теоремы 17.1.2 эта функция непрерывна на прямоугольнике [ , ]×[ , ]. Ее частная производная по , равная ( , ),
§ 17.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра |
125 |
||||||||||||||
также непрерывна. Поэтому согласно (17.1.7) имеем |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( , ) = ∫ ∂∂ ( , ) = ∫ |
( , ) . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрировав это равенство, находим |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( |
∫ |
|
|
|
|
( , ) ) . |
|
|||
|
|
|
|
∫ |
|
( , ) ) |
= ∫ |
( ∫ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, используя формулу Ньютона–Лейбница, |
|||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
( ∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||||
|
|
( , ) ) = ∫ |
( , ) − |
( , ) = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ∫ ( ∫ )
= ( , ) = ( , ) .
Теорема доказана.
В(17.1.9) порядок, в котором вычисляются интегралы, указан
спомощью скобок. Наряду с такой записью часто используется обозначение
∫ ∫ ∫ ( ∫ )
( , ) := ( , ) .
Формула (17.1.9) является утверждением об интегрировании под знаком интеграла.
В дальнейшем будет установлено, что интегрирование под знаком интеграла возможно при меньших требованиях, чем в теореме 17.1.5.
Но уже сейчас отметим, что если предполагать только интегрируемость при каждом [ , ] функции ( , ) как функции от , то интеграл
∫
( , )
не обязательно существует для всех .
Например, если ( , ) = 0 для всех [0, 1] и (0, 1], а при
= 0
{
( , 0) = 1, если рационально,
0, если иррационально,