238 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе
членами. Эти многочлены являются частным случаем многочленов Якоби, ортогональных на [−1, 1] с весом
(1 − ) (1 + ) ,
где > −1 и > −1.
Наконец, рассматриваются ортогональные многочлены на бесконечных промежутках. Многочлены, ортогональные на оси (−∞,
+∞) с весом
− 2 ,
называют многочленами Чебышева–Эрмита (многочленами Эрмита). А многочлены, ортогональные на полуоси [0, +∞) с весом
, > −1, называют многочленами Чебышева–Лагерра (многочленами Лагерра).
§19.12. Задачи и упражнения
19.12.1.Какой вид имеет ряд Фурье функции , если она четна относительно точки /2, т.е. если
|
(2 |
+ ) = |
(2 − ) |
? |
||
|
|
|
|
|
|
|
19.12.2. Какой вид имеет ряд Фурье функции , если она нечетна относительно точки /2, т.е. если
|
(2 |
+ ) = − |
(2 − ) |
? |
|
|
|
|
|
|
|
19.12.3. Докажите, что в теореме 19.6.1 можно утверждать не только справедливость оценок (19.6.5), но и сходимость ряда
∞
∑
2 ( 2 + 2).
=1
19.12.4. Разложите в ряд Фурье функцию, равную 2 на отрезке [− , ].
Найдите с помощью этого разложения сумму ряда
∞
∑ 1
2 .
=1
§ 19.12. Задачи и упражнения |
239 |
19.12.5.Докажите, что если числа монотонно убывают
кнулю, то для (0, ] справедливы оценки
∞ |
cos = ( |
|
∞ |
|
||
= |
), |
= sin = ( |
). |
|||
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
19.12.6.Докажите, что если числа монотонно убывают
кнулю, то ряд
∞
∑
sin
=1
a)равномерно сходится тогда и только тогда, когда → 0,
→ ∞;
b)имеет равномерно ограниченные частные суммы в том и только том случае, когда = (1).
19.12.7. Докажите, что при всех справедливы оценки
|
1 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
cos > 0, |
|
1 + |
|
|
(0, ), |
||
=1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
∑ |
|
|
|
sin > 0, |
(0, ). |
=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
19.12.8. Докажите, что в теореме 19.8.2 вместо непрерывности на всей оси можно предполагать непрерывность только в точке 0.