то при каждом

∫ 1

( , ) = 0,

0

а интеграл

∫ 1

( , )

0

при = 0 не существует.

Согласно теоремам этого параграфа в собственных интегралах, зависящих от параметра, переход к пределу, дифференцирование и интегрирование возможны при естественных и не очень ограничительных требованиях.

§ 17.2. Равномерная сходимость несобственных интегралов

Переходим к изучению несобственных интегралов, зависящих от параметра. Как и в гл. 9, будем предполагать, что интеграл имеет единственную особенность в верхнем пределе интегрирования

Пусть функция ( , ) задана для , [ , ) и интегрируема при каждом фиксированном как функция от по отрезкам [ , ] при всех < . Здесь может быть числом или

+∞.

Напомним, что по определению несобственный интеграл

который считают значением интеграла (17.2.1).

Определение. Пусть функция ( , ) задана на множестве× [ , ) и при всех сходится интеграл (17.2.1). Этот интеграл называют сходящимся равномерно относительно множества , если для каждого > 0 существует число < такое, что для всех и всех , удовлетворяющих условию

§ 17.2. Равномерная сходимость несобственных интегралов 129

интеграл (17.2.4) сходится равномерно относительно [ , ]. Это утверждение нельзя усилить: на любых промежутках ви-

да (−∞, ] и [ , +∞) интеграл (17.2.4) не сходится равномерно. В самом деле, для каждого числа интеграл

1 + ( − )2

равен /2 и поэтому, выбрав, например, для произвольного число > , получим, что равномерной сходимости интеграла (17.2.4) на [ , +∞) нет.

Теорема 17.2.3 (Признаки Дирихле и Абеля). Пусть на множестве × [ , ) заданы функции ( , ) и ( , ), причем при всех , [ , ) интеграл

∫

существует как собственный и при каждом функция( , ) как функция от монотонна. Тогда интеграл

∫

сходится равномерно относительно , если

1 ) (признак Дирихле) интегралы (17.2.5) равномерно ограничены, т.е. существует число такое, что для всех и[ , )

( , ) 6 ,

а функция ( , ) при → − 0 стремится к нулю равномерно относительно ;

2 ) (признак Абеля) интеграл

∫

( , )

сходится равномерно относительно , а функция ( , ) равномерно ограничена, т.е. | ( , )| 6 для некоторого числапри всех и .

Доказательство. Чтобы воспользоваться критерием Коши, оценим интеграл

∫ ′′

( , ) ( , )

′

для 6 ′ < ′′ < .

Всилу второй теореме о среднем (теорема 9.7.3) для каждого

существует такая точка ( ) ( ′, ′′), что

Если выполнены условия признака Дирихле, то из (17.2.7) следует, что

Величину из правой части оценки (17.2.8) можно сделать как угодно малой равномерно относительно , если числа ′ и ′′ достаточно близки к . Поэтому из (17.2.8) следует равномерная сходимость интеграла (17.2.6).

Если же выполнены условия признака Абеля, то в силу (17.2.7)

и пользуемся тем, что согласно критерию Коши полученные интегралы как угодно малы´ равномерно относительно , если числа′ и ′′ достаточно близки к .

Теорема доказана.

Отметим аналогию этой теоремы с теоремами 16.2.2 и 16.2.3

оравномерной сходимости рядов.

§17.3. Свойства равномерно сходящихся

интегралов

Установим для равномерно сходящихся несобственных интегралов теоремы о переходе к пределу, дифференцировании и интегрировании под знаком интеграла.

Теорема 17.3.1. Пусть на множестве × [ , ) задана функция ( , ), для которой несобственный интеграл

∫

сходится равномерно относительно , и 0 – предельная точка множества . Если ( , ) на каждом отрезке [ , ], [ , ), при → 0 , , сходится равномерно относительно [ , ] к функции ( ), то интеграл

(17.3.3)

т.е. возможен предельный переход под знаком интеграла.

Доказательство. Сначала докажем сходимость интеграла (17.3.2).

Так как функция ( , ) интегрируема по переменной на каждом отрезке [ , ], < , и при → 0, , сходится равномерно относительно [ , ] к функции ( ), то согласно теореме 17.1.3 о собственных интегралах функция ( ) интегрируема на [ , ].

Пользуясь равномерной относительно сходимостью интеграла (17.3.1), по заданному положительному находим такое, что для любой пары чисел ′ и ′′, удовлетворяющих условию< ′ < ′′ < , при всех справедлива оценка

′′ ∫

( , ) < .

Так как функция ( , ) сходится при → 0, к функции ( ) равномерно на каждом отрезке [ ′, ′′], в этом собственном интеграле можно перейти к пределу под знаком интеграла. В результате получим

′′ ∫

( ) 6 .

′

Доказательство. Будем для определенности считать, что сходится первый интеграл из (17.3.8).

Для произвольного < по условию теоремы интеграл (17.3.7) сходится равномерно относительно [ , ]. Поэтому согласно теореме 17.3.3 об интегрировании по конечному отрезку справедливо равенство

Покажем, что в интеграле из правой части равенства (17.3.10) возможен переход к пределу при → − 0 под знаком интеграла. Отсюда будут вытекать оба утверждения теоремы.

Введем функцию

∫

( , ) := ( , ) .

Согласно теореме 17.1.1 при каждом фиксированном < функция ( , ) непрерывна как функция от . Значит, для любого< существует интеграл

∫

( , ) .

Далее, справедливы оценки

∫ ∫

| ( , )| 6 | ( , )| 6 | ( , )| .

Значит, благодаря сходимости первого из интегралов (17.3.8) можно применить признак Вейерштрасса (теорема 17.2.2), согласно которому интеграл

∫

( , )

сходится равномерно относительно [ , ).

По условию теоремы при → − 0 функция ( , ) сходится к функции

∫

( , )

равномерно относительно , принадлежащих любому отрезку [ , ],

< .

Полученное равенство означает возможность предельного перехода под знаком левого интеграла в (17.3.10), что приводит к утверждению теоремы.

Теорема 17.3.5. Пусть функция ( , ) и ее частная производная

∂ ( , )

∂

непрерывны на [ , ] × [ , ). Предположим, что интеграл

∫

( ) := ( , )

сходится при каждом [ , ], а интеграл

сходится равномерно относительно [ , ]. Тогда функция( ) имеет на [ , ] непрерывную производную, для которой справедливо равенство

Так как интеграл

∫ ∂ ( , )

∂