§ 16.8. Суммирование рядов методом Абеля–Пуассона |
109 |
Покажем, что для (−1, 0) числа → 0 при → ∞ и, следовательно, согласно признаку Лейбница ряд из (16.7.24) при= 1 сходится. Имеем
= |
( − 1) · · ·!( − + 1) |
|
− − |
. |
||
= | | =2 |
||||||
|
|
|
∏ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, числа равны частным произведениям бесконечного произведения
∞ |
|
− |
1 |
∞ |
+ 1 |
), |
(16.7.27) |
|
| | =2 |
− |
|
= | | |
=2(1 − |
|
|||
∏ |
|
|
|
|
∏ |
|
|
|
все множители которого положительны и меньше 1.
Согласно теореме 15.8.3 это произведение сходится или расходится одновременно с рядом
∞
∑ + 1
=2
.
Значит, бесконечное произведение (16.7.27) расходится.
Так как все множители произведения (16.7.27) положительны и меньше 1, его частные произведения убывают и расходиться такое произведение может только к нулю, следовательно, → 0 при → ∞.
Итак, в точке 1 ряд из (16.7.24) сходится при > −1 и расходится при 6 −1.
В тех случаях, когда при = ±1 ряд из (16.7.24) сходится, знак равенства в (16.7.24) обосновывается ссылкой на теорему 16.7.1.
Подведем итог установленных результатов. Равенство (16.7.24) имеет место для | | < 1 при всех , в точке 1 при > −1, в точке −1 при > 0.
§ 16.8. Суммирование рядов методом Абеля–Пуассона
С помощью степенных рядов определяется суммирование рядов методом Абеля–Пуассона, который наряду с методом средних арифметических является одним из основных в теории суммирования.
110 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды
Как и при суммировании методом средних арифметических, будем рассматривать ряды, членами которых являются действительные числа.
при каждом [0, 1) сходится ряд
|
|
|
(16.8.2) |
|
|
|
|
||
=0 |
|
|
|
|
lim |
∞ |
|
|
= , |
|
|
|||
→1−0 |
=0 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
Определение. Если для ряда |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(16.8.1) |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
∞
∑
и
ряд (16.8.1) называют суммируемым методом Абеля–Пуассона
к .
Величина называется обобщенной суммой ряда (16.8.1) в смысле метода Абеля–Пуассона.
Иногда этот метод называют методом Абеля, иногда – методом Пуассона.
Обозначим частные суммы ряда (16.8.1) , = 0, 1, . . . .
Теорема 16.8.1. Если один из рядов
∞∞
∑ |
∑ |
|
(16.8.3) |
|
|
||
, |
|
||
=0 |
=0 |
|
|
сходится при всех [0, 1), то при этих другой ряд также сходится и справедливо равенство
∞∞
∑ |
|
= (1 |
− ) |
∑ |
(16.8.4) |
|
|
. |
|||
=0 |
|
|
|
=0 |
|
Доказательство. Будем пользоваться тождеством
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
∑ |
|
= (1 − ) |
∑ |
|
|
+ , |
(16.8.5) |
|
|
|
|
|
|||
=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
|
§ 16.8. Суммирование рядов методом Абеля–Пуассона |
111 |
которое доказывается с помощью преобразования Абеля:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
∑ |
∑ |
|
|
||
= 0 + |
( − −1) = |
|
− |
−1 = |
|
|||||
=0 |
|
=1 |
|
|
=0 |
=1 |
|
|
||
−1 |
|
|
|
+1 |
|
|
−1 |
|
|
|
∑ |
( − |
|
|
|
∑ |
|
|
|
||
= |
|
) + = (1 − ) |
+ . |
|||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
В силу (16.8.5) для доказательства теоремы достаточно установить, что из сходимости одного из рядов (16.8.3) на [0, 1) следует, что для [0, 1) величина стремится к нулю → ∞.
Если при (0, 1) сходится первый из рядов (16.8.3), то существует такое число , что | | 6 для (0, 1) и всех . Значит, | | 6 − . Поэтому для [0, )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
| 6 |
∑ |
|
|
∑ |
− = |
|
∑ |
||||||||
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
| |
| 6 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
=0 |
||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
< ( |
|
) |
|
= |
|
( |
|
) |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
=0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для (0, ) |
|
|
|
∑ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
полученное |
выражение |
стремится |
к нулю при |
||||||||||||||||
→ ∞. Поэтому из (16.8.5) вытекают сходимость второго ряда (16.8.3) и равенство (16.8.4).
Если же на [0, 1) сходится второй ряд (16.8.3), то → 0 при → ∞ как общий член сходящегося ряда.
Теорема доказана.
Согласно теореме 16.8.1 ряд (16.8.1) суммируется к , −∞ 66 +∞, методом Абеля–Пуассона, если для всех [0, 1) схо-
дится ряд
∞
∑
,
=0
где , = 0, 1, . . . , – частные суммы ряда (16.8.1), и
|
|
|
∞ |
|
lim |
|
∑ |
|
|
|
|
|
1 0(1 |
− ) |
= . |
|
→ − |
|
=0 |
Если в качестве { } взять произвольную последовательность, а не последовательность частных сумм ряда, получим определение суммируемости последовательностей методом Абеля–Пуассо- на.
112 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды
Покажем, что суммирование рядов методом Абеля–Пуассона согласуется с суммированием методом средних арифметических, а значит, и со сходимостью рядов.
Теорема 16.8.2 (Теорема Фробениуса). Если ряд (16.8.1) суммируем методом средних арифметических к , −∞ 6 6 +∞, то он суммируем к и методом Абеля–Пуассона.
Доказательство. 1 . Рассмотрим сначала случай, когда конечно.
Из суммируемости ряда методом средних арифметических к конечному пределу согласно теореме 15.7.2 вытекает оценка= ( ), → ∞. Отсюда в силу формулы Коши–Адамара следует, что радиус сходимости ряда
∞
∑
=0
не может быть меньше 1, т.е. для всех [0, 1) этот ряд сходится. Применив два раза тождество (16.8.4), получим
∞ |
|
|
−1 |
|
|
2 |
∞ |
|
∑ |
|
= (1 − ) |
∑ |
|
= (1 − ) |
|
∑ |
( + 1) , (16.8.6) |
|
|
|
|
|
|
|||
=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
=0 |
|
где – средние арифметические частных сумм ряда (16.8.1). Продиференцировав почленно при | | < 1 ряд в равенстве
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
− |
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∑ |
( + 1) = |
|
|
− |
|
. |
|
||||
=0 |
(1 |
|
|
)2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
| | < 1, |
(16.8.7) |
|||
1 = (1 − )2 |
( + 1) , |
|
|
|
|||||||
=0
и из (16.8.6) следует, что
∞∞
∑ |
∑ |
|
− = (1 − )2 |
( + 1)( − ) . |
(16.8.8) |
=0 |
=0 |
|
§ 16.8. Суммирование рядов методом Абеля–Пуассона |
113 |
|||||||||||||||||
Так как − → 0 при → ∞, то для каждого > 0 суще- |
||||||||||||||||||
ствует такое, что при > выполняется оценка |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
| − | < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − )2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= +1( + 1)( − ) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 (1 − ) |
|
=∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( + 1)| − | 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
|
2 ∞ |
|
|
|
|
|||||
6 (1 − ) |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|||||
|
( + 1) |
2 |
< |
2 |
(1 − ) |
|
( + 1) = |
2 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
= +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|||
Таким образом, согласно (16.8.8) имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
− 6 (1 − )2 =0( + 1)| − |
| + 2 . |
|
|
||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
число фиксировано, отсюда следует, |
что для , |
||||||||||||||||
достаточно близких к 1, справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
− |
< , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая доказывает теорему для конечных .
2 . Пусть теперь является бесконечным символом, для определенности = +∞.
Сначала предположим, что ряды (16.8.3) сходятся при всех[0, 1). Тогда сходится ряд
∞
∑
( + 1)
=0
и при всех [0, 1) справедливо равенство (16.8.6).
Так как → +∞ при → ∞, то для каждого положительного существует такое, что > для всех > . Значит, при [0, 1)
∞ |
= (1 − )2( |
|
∞ |
> |
=0 |
=0( + 1) + |
= +1( + 1) ) |
||
∑ |
|
∑ |
∑ |
|
114 |
Гл. 16. |
Функциональные последовательности и ряды |
||||
|
> (1 − )2( |
|
∞ |
= |
|
|
|
=0( + 1) + = +1( + 1) ) |
|
||||
|
|
( |
∑ |
∑ |
|
|
|
= (1 − )2 |
|
∞ |
|
= |
|
|
=0( + 1)( − ) + =0( + 1) ) |
|||||
|
|
|
∑ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1 − )2 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
( + 1)( − ) + > |
|
|
||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> − (1 − 2) |
∑ |
|
|
||
|
( + 1)| − |. |
|
|
|||
=0
Поэтому при < 1, достаточно близких к 1,
∞
∑ >
2
=0
и, таким образом,
∞
∑
lim = +∞.
→1−0
=0
Обсудим теперь случай, когда при некотором 0 (0, 1) ряд
∞
∑
|
(16.8.9) |
0 |
=0
расходится.
Покажем, что если → +∞ при → ∞, то частные суммы ряда (16.8.9) стремятся к +∞.
Начиная с некоторого номера , числа положительны и, значит, частные суммы ряда
∞
∑
|
(16.8.10) |
0 |
=0
возрастают. Этот ряд не может сходится, так как иначе в силу (16.8.5) сходился бы и ряд (16.8.9). Таким образом,
∑
lim 0 = +∞.
→∞
=0