§ 16.9. Задачи и упражнения |
115 |
Чтобы охватить и случай, когда ряд вида (16.8.9) расходится, определение суммируемости методом Абеля–Пуассона расширяют следующим образом.
Если частные суммы ряда (16.8.1) имеют пределом +∞ и при некотором 0 (0, 1) ряд (16.8.9) расходится, ряд (16.8.1) называют суммируемым методом Абеля–Пуассона к +∞.
При таком определении суммируемости можно утверждать, что метод суммирования Абеля–Пуассона вполне регулярен.
Теорема доказана.
Метод суммирования Абеля–Пуассона сильнее метода средних арифметических, т.е. существуют ряды, которые суммируются методом Абеля–Пуассона, но не суммируются методом ( , 1).
Таков, например, ряд
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
(16.8.11) |
|
|
|
|
|
(−1) ( + 1). |
|
|||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
Заменив в равенстве (16.8.7) на − , находим |
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) ( + 1) = |
(1 + )2 |
, |
|
| | < 1. |
||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(−1) ( + 1) = 4 . |
||||||||
|
1 |
− |
0 |
|||||||
|
→ |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
А согласно теореме 15.7.2 ряд (16.8.11) не суммируется методом средних арифметических к конечному пределу, так как его члены не является величиной ( ) при → ∞.
Отметим еще, что как и метод средних арифметических, метод Абеля–Пуассона суммирует ряды с неотрицательными членами только в том случае, когда эти ряды сходятся. Это вытекает из теорем 16.8.2 и 15.7.3.
§16.9. Задачи и упражнения
16.9.1.Докажите, что ряд
∞ |
2 + |
∑ |
|
(−1) |
2 |
=0 |
|
116 Гл. 16. Функциональные последовательности и ряды
сходится равномерно на любом конечном отрезке, но не сходится абсолютно ни при одном значении .
16.9.2.Докажите, что если последовательность многочленов степени не выше равномерно сходится на некотором отрезке, то предел этой последовательности является многочленом степени не выше .
16.9.3.Чему равна сумма ряда
∑
∞
! − ?
=0
Сходится ли этот ряд на полуоси [0, +∞) равномерно?
16.9.4.Докажите, что если последовательность непрерывных на отрезке [ , ] функций сходится равномерно на интервале ( , ), то эта последовательность сходится равномерно и на отрезке [ , ].
16.9.5.Покажите на примере, что в теореме 16.3.1 равномерную сходимость на нельзя заменить на сходимость в каждой точке .
16.9.6.В теореме 16.2.4 предполагалось, что 1) множество ограничено, 2) замкнуто, 3) последовательность { (x)} в каждой точке x возрастает, 4) предел последовательности { (x)}
–непрерывная на функция.
Приведите примеры, показывающие, что ни от одного из этих условий отказаться нельзя, т.е. примеры, когда выполнены только какие-либо три из этих условий и утверждение теоремы не верно.
16.9.7.Если функции 1( ), 2( ), . . . определены в некоторой окрестности точки 0 и для каждой последовательности точек { 0 + }, сходящейся при → ∞ к 0, последовательность { ( + )} сходится к числу , то последовательность { ( )} называют сходящейся к в точке 0 равномерно.
Приведите пример последовательности непрерывных функций { ( )}, сходящейся в некоторой точке, но не сходящейся
вэтой точке равномерно.
16.9.8.Докажите, что степенной ряд
∞
∑
=1
§ 16.9. Задачи и упражнения |
117 |
сходится во всех точках единичной окружности, кроме точки
= 1.
16.9.9.Запишите ряд Тейлора функции log(1 + ) в точке 1 и определите радиус сходимости этого ряда.