Явление Гиббса характерно для поведения частных сумм рядов Фурье произвольных функций в окрестности их изолированных точек разрыва первого рода.

Именно, если 0 – изолированная точка разрыва первого рода функции из [− , ] и := ( 0 + 0) − ( 0 − 0) ̸= 0 – скачокв точке 0, то функция

( ) := ( ) − ( − 0)

непрерывна в точке 0. Поэтому, если ряд Фурье функции ( ) в некоторой окрестности точки 0 сходится равномерно, то для частных сумм ряда Фурье функции ( ) в точке 0 имеет место явление Гиббса, как для функции ( / ) ( − 0).

§ 19.8. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических

Ряды Фурье непрерывных функций не обязательно сходятся во всех точках.

Покажем, что тем не менее ряд Фурье любой непрерывной функции равномерно суммируется к ней методом средних арифметических.

Пусть [− , ] и ( , ) – частные суммы ряда Фурье функции . ( , 1)-средние частных сумм ряда Фурье функции

называют суммами Фейера (средними Фейера) этой функции. Получим сначала удобное представление полиномов ( , ). Пользуясь формулой (19.3.2), находим

Интеграл из формулы (19.8.1) является сверткой функции с функцией , которую называют ядром Фейера. Напомним, что

220 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

формула (19.3.2) выражала частную сумму ряда Фурье в виде свертки с ядром Дирихле .

Из (19.8.2) и (19.3.6) следует, что

Теорема 19.8.1 (Теорема Фейера). Для 2 -периодической непрерывной на всей оси функции ( ) суммы Фейера ( , ) при→ ∞ сходятся к ( ) равномерно относительно .

Доказательство. Достаточно рассмотреть [− , ]. Для модуля непрерывности функции имеем ( , +0) = 0.

Так как ядро Фейера неотрицательно и четно, то согласно (19.8.4)

| ( , ) − ( )| =

Интеграл в правой части формулы (19.8.5) не зависит от , поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что этот интеграл стремится к нулю при → ∞.

Для каждого положительного существует > 0 такое, что

Согласно (19.8.5) и монотонности модуля непрерывности име-

ем

то из (19.8.7) и (19.8.6) будет следовать, что для всех >

| ( , ) − ( )| < .

Теорема доказана.

В силу регулярности метода суммирования средних арифметических из теоремы Фейера вытекает следующее утверждение.

Теорема 19.8.2. Если ряд Фурье непрерывной функции сходится в точке 0 , то он сходится к значению ( 0).

§ 19.9. Теоремы Вейерштрасса о полноте

Произвольную линейную комбинацию функций

1, cos , sin , . . . , cos , sin

называют тригонометрическим полиномом порядка не выше . Если в этой линейной комбинации числовой множитель хотя бы при одной из функций cos и sin отличен от нуля, полином называется полиномом порядка .

Теорема 19.9.1 (Теорема Вейерштрасса). Если функция ( )

имеет период 2 и непрерывна на всей оси, то для каждого > 0 существует такой тригонометрический полином ( ), что при всех справедлива оценка

Согласно теореме 19.8.1 в качестве полиномов ( ) в теореме Вейерштрасса можно взять суммы Фейера ( , ).

222 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Теорема Вейерштрасса была исторически первым утверждением такого рода. Теорема Фейера дает одну из возможных конструкций полиномов, которыми можно как угодно хорошо приближать непрерывные периодические функции в метрике пространства .

Если функция является четной, то ее ряд Фурье содержит только косинусы. Поэтому для четных функций ( ) в теореме Вейерштрасса полиномы ( ) можно считать четными. Точно также для нечетных функций ( ) полиномы ( ) можно считать нечетными.

Теорема Вейерштрасса означает, что множество тригонометрических полиномов всюду плотно в пространстве [− , ], т.е. тригонометрическая система полна в [− , ].

Отметим, что в теореме 19.9.1 ничего не говорится о порядке полинома ( ). Вообще говоря, при заданном он может быть высоким.

Приведем некоторые следствия из теоремы 19.9.1.

Теорема 19.9.2. Если функция ( ) [− , ], > 1, то

для каждого > 0 существует тригонометрический полином( ), для которого справедлива оценка

‖ ( ) − ( )‖ < .

Доказательство. Пользуясь теоремой 19.1.5, по > 0 находим непрерывную на [− , ] функцию ( ), для которой

‖ ( ) − ( )‖ < 3 .

Для функции ( ) равенство (− ) = ( ) может не выполняться. Но изменив значения ( ) в окрестности точки или − , можно получить непрерывную на [− , ] функцию ( ), для которой ( ) = (− ) и

‖ ( ) − ( )‖ < 3 .

Приблизив теперь функцию ( ) в равномерной метрике, видим, что существует тригонометрический полином ( ), для которого

‖ ( ) − ( )‖ < 3 .

224 Гл. 19. Ряды Фурье по тригонометрической системе

Теорема 19.9.3. Если функции и принадлежат пространству 2 [− , ] и , и , – их коэффициенты Фурье соответственно, то справедливо равенство Парсеваля

Рассмотрим вопрос о полноте системы степеней в пространстве функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 19.9.4 (Теорема Вейерштрасса). Если функция ( )

непрерывна на отрезке [ , ], то для каждого положительного существует алгебраический многочлен ( ) такой, что для всех

[ , ]

Доказательство. Если [ , ] = [−1, 1], то после замены = cos , получим функцию ( ) := (cos ), непрерывную на отрезке [0, ]. Функцию ( ) в силу теоремы 19.9.1 можно приблизить полиномом по косинусам с оценкой

Функция cos согласно равенству (16.7.15) представима в виде многочлена по степеням cos :

откуда

( ) = cos arccos .

Многочлены ( ), = 0, 1, 2, . . . , называются многочленами Чебышева первого рода. Они играют важную роль во многих разделах анализа.

В силу представления cos в виде многочленов по степеням cos тригонометрический полином ( ) из (19.9.3) является многочленом по степеням cos .

При переходе от переменной к переменной получим оценку (19.9.2) для случая, когда [ , ] = [−1, 1].

Общий случай легко сводится к рассмотренному. В самом деле, отрезок [ , ] изменения переменной при замене

= + −2 ( + 1)

переходит в отрезок [−1, 1] изменения переменной .