Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский финансово-промышленный университет Синергия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matem-ege-shpora / Математика формулы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 304 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

http://vk.com/ege100ballov

II.ГЕОМЕТРИЯ

1.Элементарная геометрия

1.1. Треугольники.

Площадь треугольника:

S = 1 ah

= 1 bh

= 1 ch ;

S =

p (p − a) (p − b) (p − c) (формула Герона);

S =

1 absin γ;

S = abc ;

S = pr ;

S = r (p − a) = r (p − b) = r (p − c) ;

S = r r r r ;

S = p2 tg α tg β tg

;

b c

S = p (p − a) tg

α = p (p − b) tg β

= p (p − c) tg

где a, b, c — стороны треугольника, ha, hb, hc — высоты, опущенные на стороны a, b,

c, p = 1 (a + b + c) — полупериметр,

R – радиус окружности, описанной около треуголь-

ника, r — радиус окружности, вписанной в треугольник, ", $, ( — углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно, ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей, касаю-

щихся сторон a, b, c.

Т е о р е м а к о с и н у с о в :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos "; b2 = a2 + c2 – 2ac cos $; c2 = a2 + b2 – 2ab cos (;

Те о р е м а

a + c a − c

с и н у с о в :	a	=	b	=	c	= 2R.
	sin α		sin β		sin γ

т а н г е н с о в :

a + b a − b

	tg	α + γ		ctg		β
=		2	=			2	;
=	tg	α − γ	=	tg	α − γ		;
		α − γ			α − γ
		2				2
		2				2

tg α + β

ctg

;

α − β

β + γ

b + c

ctg

b − c

β − γ

Ф о р м у л ы М о л ь в е й д е :

α − β

a + b

cos

α − β

cos

α − β

a − b

sin

;

α + β

sin

cos

sin

Л и н и и в т р е у г о л ь н и к е .

Медиана ma	к стороне a: ma	=	1	2b2
			2

Высота ha, опущенная на сторону a: ha

+ 2c2 − a2 .

= 2 p (p − a) (p − b) (p − c) . a

R = 2c = mc .

http://vk.com/ege100ballov

1.2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

2abcos

2ac cos β

Биссектриса

к стороне a:

+ b

a + c

Р а в н о с т о р о н н и й

т р е у г о л ь н и к (со стороной a).

Площадь:

S = a2 3 .

Радиус описанной окружности:

R =

a 3

Радиус вписанной окружности:

r =

(с катетами a и b и гипотенузой c).

П р я м о у г о л ь н ы й т р е у г о л ь н и к

Площадь:

S =

1 ab.

Радиус описанной окружности:

Теорема Пифагора: a2 + b2 = c2. Свойства прямоугольного треугольника:

ac : a = a : c, bc : b = b : c, bc : hc = hc : ac,

где ac и bc — проекции катетов a и b на гипотенузу c.
1.2. Четырехугольники.
П р я м о у г о л ь н и к и к в а д р а т .
Площадь прямоугольника (со сторонами a и b):			S = a b.
Площадь квадрата (со стороной a): S = a2.
Р о м б .	Площадь: S = a2 sin γ = ah =	1 d d			, где a – сторона, ( – угол,
		2	1	2

h – высота, d1 и d2 – диагонали.

Связь между стороной и диагоналями: d12 + d22 = 4a2 .

Радиус вписанной окружности:				r =	1 h =		1 asin γ .
					2		2
П а р а л л е л о г р а м м .				Площадь:			S = absin α = ah = bh =		1 dd sinβ,
							a	b	2 1 2
где a и b — стороны, " — угол,				ha	и hb — высоты, опущенные			на	стороны a и b,
$ — угол между диагоналями d1 и				d2.
Связь между стороной и диагоналями:						d2	+ d2 = 2 (a2 + b2) .
						1	2	S = a + b h .
Т р а п е ц и я		(с основаниями a, b				и высотой h). Площадь:		S = a + b h .
В ы п у к л ы й ч е т ы р е х у г о л ь н и к .									2
В ы п у к л ы й ч е т ы р е х у г о л ь н и к .
Площадь: S =	1 d d sin γ,			где	d1	и	d2 — диагонали, ( — угол между диагона-
	2	1	2

лями.

http://vk.com/ege100ballov

12	II.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
	Связь между сторонами и диагоналями: a2 + b2 + c2 + d2 = d2	+ d2	+ 4m2 , где a,
	1	2

b, c, d — стороны, m — отрезок, соединяющий середины диагоналей. С в о й с т в а ч е т ы р е х у г о л ь н и к о в :

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы проти-

воположных сторон равны: a + c = b + d.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны: " + ( = $ + * = 180°.

Для вписанного четырехугольника справедливы формулы: ac + bd = d1d2;

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) , p = (a + b + c + d)/2.

1.3. Многоугольник.

Сумма внутренних углов n-угольника: 180°(n – 2).

Число диагоналей выпуклого

n-угольника:

1 n(n − 3) .

Сторона правильного n-угольника:

= 2Rsin180°

= 2r tg 180° , где R — радиус

описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Площадь правильного n-угольника:

360°

= r

n tg

180°

nctg

180°

R nsin

1.4. Окружность и круг.

Длина окружности:

L = 2πR. Площадь круга:

S = πR2 =

πD2 .

1.5. Сегмент и сектор.

Вформулах обозначено: R — радиус, l — длина дуги, a — хорда, стягивающая дугу,

α— центральный угол (в градусах) дуги.

Длина хорды:	a = 2Rsin					α .
		2πRα				2
Длина дуги:	l =	2πRα		.
Длина дуги:	l =			.
			360°
Площадь сектора:			S = πR2α .
			360°					πα
					1	2		πα
Площадь сегмента:			S =		2	R			− sin	α .
Площадь сегмента:			S =			R			− sin	α .
							180°
1.6. Призма.
Площадь боковой поверхности:								SБОК = PПL,
где PП — периметр перпендикулярного сечения, L — длина бокового ребра.
Объем призмы: V = SПL = SОСНH,										H — высота.
где SП — площадь перпендикулярного сечения,										H — высота.

Объем прямоугольного параллелепипеда (со сторонами a, b, c): V = abc.

http://vk.com/ege100ballov

		1.10. КОНУС.						13
1.7. Пирамида.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:							S =	1 Ph, где Р — периметр
основания, h — апофема.								2
основания, h — апофема.
Объем пирамиды:	V = 1 S	H ,	где S	осн	— площадь основания, H — высота.
	3 осн			осн
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S = 1 (P + p)h , где
Р, р — периметры оснований, h — апофема.								2
Р, р — периметры оснований, h — апофема.
Объем усеченной пирамиды:		V =	1 H(S +		S S + S ) ,			где H — высота усеченной
			3	1	1	2	2
			3

пирамиды, S1 и S2 — площади оснований.

1.8. Правильные многогранники.

В формулах обозначено: a — ребро, V — объем, S — площадь боковой поверхности,

R— радиус описанной сферы, r — радиус вписанной сферы, H — высота.

Ку б . Все шесть граней — квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

V = a3;		S = 6a2;			R =	a 3	;	r = a ;		H = a.

					2				2
Т е т р а э д р . Все четыре грани — равносторонние треугольники. Тетраэдр имеет
четыре вершины и шесть ребер.
V = a3 2 ;		S = a2 3 ;			R = a 6 ;			r = a 6 ;		H = a 6 .
12					4				12	3
О к т а э д р .	Все восемь		граней		— равносторонние				треугольники. Октаэдр имеет
шесть вершин и двенадцать ребер.
Д о д е к а э д р .		Все двенадцать граней — правильные пятиугольники. Додекаэдр
имеет двадцать вершин и тридцать ребер.
V = a3 (15 + 7 5)	; S = 3a2		5 (5 + 2		5) ; R = a 3(1 +				5) ; r = a 10 (25 +11 5) .
4								4		20
И к о с а э д р . Все двадцать граней — равносторонние треугольники. Икосаэдр име-
ет двенадцать вершин и тридцать ребер.
V = 5a3 (3 + 5) ;		S = 5a2 3 ; R = a 2 (5 + 5) ;							r = a 3 (3 + 5) .
12					4					12
Ф о р м у л а	Э й л е р а .			Число ребер L,				число	вершин N и число граней F
многогранников связаны равенством:				N – L + F = 2.

1.9. Цилиндр.

Объем цилиндра (с радиусом основания R и высотой H): V = πR2H. Площадь боковой и полной поверхностей цилиндра:

Sбок = 2πRH; Sцил = 2πRH + 2πR2.

1.10. Конус.

Объем конуса (с радиусом основания R и высотой H): Vкон = 13 πR2H.

Площадь боковой поверхности конуса: Sбок = πRL, где L — образующая конуса.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 304 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке matem-ege-shpora

#
03.06.20151.37 Кб17README.txt
#
03.06.20151.1 Mб31математика С1.pdf
#
03.06.20154.5 Mб42математика С2.pdf
#
03.06.20151.89 Mб31математика С3.pdf
#
03.06.20152.19 Mб87математика С4.pdf
#
03.06.20152.28 Mб35Математика формулы.pdf
#
03.06.20151.21 Mб25Математика формулы1.pdf
#
03.06.20152.9 Mб87Математика шпаргалка.pdf

1.Элементарная геометрия

1.1. Треугольники.

1.2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

1.3. Многоугольник.

1.4. Окружность и круг.

1.5. Сегмент и сектор.

1.7. Пирамида.

1.8. Правильные многогранники.