2. Гиперболические функции

sh x ± sh y = 2sh x ± y ch x y ;

2

2

ch x + ch y = 2 ch x + y ch x − y ;

ch x − ch y = 2sh x + y sh x − y ;

2

2

2

2

th x ± th y =

sh (x ± y)

;

cth x ± cth y =

sh (x ± y)

;

ch xch y

sh xsh y

2 ch xch y = ch (x + y) + ch (x − y);

2sh xsh y = ch (x + y) − ch (x − y);

2sh xch y = sh (x + y) + sh (x − y).

Соотношения между обратными гиперболическими функциями:

arsh x ± arsh y = arsh (x y2 +1 ± y

x2 +1)= arch (

x2 +1 y2 +1 ± xy);

arch x ± arch y = arch (xy ±

x2 −1

y2 −1)= arsh (y

x2 −1 ± x

y2 −1);

VI.2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

101

Б е с к о н е ч н о е п р о и з в е д е н и е Э й л е р а :

1

γz ∞

z

−z n

= z e

∏

1 +

e

,

Γ(z)

n=1

n

n

где γ =

∑

1

≈ 0, 5772156649 — постоянная Эйлера – Маскерони.

lim

− ln n

n→∞ k=1 k

Γ(nz) = (2π)

(1−n) 2

n

nz−1 2

n−1

+

k

∏Γ

z

.

k=1

n

Рекуррентная формула:

Γ(n + z) = (n −1 + z)(n − 2 + z)…(1 + z)zΓ(z) .

Формулы симметрии:

Γ(z) Γ(−z) = −

π

;

z sin πz

Γ(z) Γ(1 − z) = ∞∫

tz−1

dt (0 < Re z < 1).

1 + t

0

Ф о р м у л а С т и р л и н г а :

Γ(z) ≈ e−z zz−1 2 2

1

+

1

+

1

−

139

−…

(

arg z

< π).

12z

288z

2

51840z

3

Ф о р м у л а В а л л и с а :

Γ(n +1 2)

1

1

1

(n → ∞).

Γ(n +1)

≈

1

−

+

−…

8n

128n2

n

Частные значения: Г(n + 1) = n!,

Γ 1

=

π .

2

Б е т а - ф у н к ц и я :

B(z,w) ≡

Γ(z) Γ(w) ,

B(z,w) = B(w,z);

Γ(z + w)

1

∞

z

−1

B(z,w) = ∫tz−1 (1 − t)w−1 dt = ∫

t

dt

(интеграл Эйлера I рода).

1 + t z+w

0

0

(

)

Логарифмическая производная гамма-функции (пси-функция):

ψ(z) =

d

ln Γ(z) =

Γ′(z) .

dz

Γ(z)