6.1.Основные определения.

6.3. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

69

6.2. Несобственные интегралы.

К р и т е р и й

К о ш и .

Для сходимости несобственного интеграла

∫b f(x) dx

a

необходимо и достаточно, чтобы для любого

ε > 0

существовало такое

b*(ε),

что для лю-

′′

бых b′, b″ > b* выполнялось неравенство

b∫f(x) dx

< ε.

′

b

П р и з н а к с х о д и м о с т и

Д и р и х л е .

Если функция f(x)

непрерывна

и имеет ограниченную первообразную F(x) при x . a, а функция

g(x)

непрерывно диффе-

+∞

ренцируема и убывает при x . a и

lim g(x) = 0 ,

то сходится интеграл

∫

f(x) g(x) dx .

x→+∞

a

П р и з н а к и с х о д и м о с т и

н е с о б с т в е н н ы х

и н т е г р а -

л о в . Если | f(x)

| - F(x) при

x . a

и

+∞∫ F(x) dx

сходится, то интеграл

+∞∫ f(x) dx

сходится абсолютно.

a

a

+∞∫ f(x) dx

+∞∫ g(x) dx

Если f(x) > 0 и

f(x) = O(g(x)) при

x → +∞,

то интегралы

и

сходятся или расходятся одновременно.

a

a

+∞∫ f(x) dx сходится, если

Если f(x) = O(x–p) при x → +∞, то интеграл

p > 1,

и рас-

a

ходится, если p - 1.

6.3. Интегралы, зависящие от параметра.

Н е п р е р ы в н о с т ь .

Если функция f(x, y) непрерывна на

,

а

ϕ(y)

и ψ(y)

G

Д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь

( ф о р м у л а

Л е й б н и ц а ) .

Если

функции f(x, y) и

∂f(x, y) непрерывны на

и ϕ(y), ψ(y)

непрерывны вместе со своими

G

∂y

первыми производными на [α, β], то интеграл, зависящий от параметра, имеет на [α, β]

про-

изводную dΦdy(y) =

ψ(y)

∂f(∂xy, y) dx − f (ϕ(y), y)dϕdy(y) + f (ψ(y), y)dψdy(y) .

∫

ϕ(y)

70

III.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Если ψ(y) = b = const, ϕ(y) = a = const, то имеет место формула Лейбница

dΦ(y)

= ∫b ∂f(∂xy, y) dx.

dy

a

И н т е г р и р о в а н и е .

Если функции ϕ(y) и ψ(y) непрерывны на

[α, β] и

= {(x, y): α - y - β; ϕ(y) - x - ψ(y)},

то имеет место формула

f(x, y) непрерывна в G

β

β

ψ(y)

∫Φ(y) dy = ∫

∫ f(x, y) dx dy = ∫∫f(x, y) dx dy.

α

α ϕ(y)

G

6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

К р и т е р и й

К о ш и .

Для того, чтобы интеграл

Φ(y)

= ∫b f(x, y) dx равно-

a

мерно сходился в Y,

необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0

существовало такое

δε < b, что для любых δ′ (δε, b) и δ″ (δε, b) и всех y Y выполнялось неравенство

δ′′

∫f(x, y) dx

< ε.

δ′

К р и т е р и й

В е й е р ш т р а с с а .

Интеграл

Φ(y)

= ∫b f(x, y) dx

сходится

a

равномерно в Y, если существует не зависящая от параметра

y неотрицательная функция

g(x), определенная на

[a, b)

и интегрируемая (по Риману) на любом

[a, δ] (где δ (a, b) ) и

b

такая, что | f(x, y) | - g(x),

x [a, b), y Y,

и интеграл ∫g(x) dx

сходится.

a

П е р е х о д

к

п р е д е л у

п о д з н а к о м

и н т е г р а л а .

Если

функция f(x, y) определена для любого

x [a, b)

(–∞ < a < b - +∞)

и y Y, при любом

y Y непрерывна по x на [a, b),

и если для любого η [a, b)

функция f(x, y) равномерно

на [a, η] стремится к функции g(x)

при

y → y0

и интеграл

∫b f(x, y) dx

равномерно схо-

a

дится на Y, то

ylim→y

∫b f(x, y) dx = ∫b ylim→y

f(x, y) dx = ∫b g(x) dx .

0

a

a

0

a

П е р е с т а н о в к а

п о р я д к а

и н т е г р и р о в а н и я .

Если функция

f(x, y) определена и непрерывна на

{(x, y):

a - x < b, c - y < d} (–∞ < a < b - +∞,

–∞ < c < d - +∞) и

∫b f(x, y) dx равномерно сходится на любом

[c, η],

c < η < d, а интеграл