2.Функции комплексного переменного

Функция f(z)

называется непрерывной в точке z0,

если

lim f(z) = f(z0) .

z→z0

Функция f(z),

непрерывная в каждой точке области G,

называется непрерывной в об-

ласти G.

Функция f(z)

называется дифференцируемой в точке z,

если существует конечный пре-

дел

lim

∆f(z)

= f′(z) .

∆z→0

∆z

Функция f(z)

называется аналитической в точке

z0, если она представима степенным

Точка

z0 называется нулем функции

f(z), если f(z0) = 0. Точка z0 называется нулем

n-го порядка

аналитической функции f(z),

если f(z) = (z – z0)n ϕ(z),

где ϕ(z) — аналитиче-

ская и ϕ(z0) ≠ 0.

Точка z0 называется особой точкой

функции f(z), если f(z) в этой точке не аналити-

ческая. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z),

если существует

такое ε > 0, что в области 0 < | z – z0 | < ε функция f(z) — аналитическая.

Особая точка аналитической функции

f(z) называется устранимой особой точкой, если

ее разложение в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней

z – z0,

т. е. c–n = 0

(n = 1, 2, …).

ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней

z – z0 (c–1 ≠ 0, c–k ≠ 0, …,

c–k–i = 0 (i = 1, 2, …)),

число k называется порядком полюса;

если k = 1, то полюс называет-

ся простым.

Особая точка z0

аналитической функции f(z) называется существенно особой точкой,

http://vk.com/ege100ballov

92

V.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.

в декартовых координатах:

∂u

= ∂v

,

∂u

= −

∂v

;

∂x

∂y

∂y

∂x

в полярных координатах:

∂u = −r

∂v

,

r ∂u

=

∂v

,

u = u (r cos ϕ, r sin ϕ),

∂ϕ

∂r

∂r

∂ϕ

C

C

C

где C — кусочно гладкая кривая,

f(z) = u (x, y) + i v (x, y). В правой части равенства стоят

криволинейные интегралы по кривой C в координатной плоскости x, y.

Формула вычисления интеграла от функции f(z) = u (x, y) + i v (x, y)

при параметриче-

ском задании кривой C: z = z(t) = x(t) + i y(t) (t1 - t - t2,

x(t) и y(t) — дифференцируемые

t2

t2

функции):

∫f(z) dz = ∫{ux − vy}dt + i∫{vx + uy}dt.

C

t1

t1

Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного следуют из свойств

криволинейных интегралов.

Неопределенный интеграл от функции комплексного переменного

f(z) определяется

формулой

F(z) = ∫z f(ζ) dζ + C

(C = const), где

f(ζ) — аналитическая функция в

z0

односвязной области G, z0 и z

— начальная и конечная точки произвольного кусочно

гладкого пути интегрирования, целиком лежащего в G.

Формула перехода к пределу под знаком интеграла:

nlim→∞ ∫fn (z) dz = ∫nlim→∞ fn (z) dz = ∫f(z) dz ,

C

C

C

где fn (z)

(n N)

— последовательность функций, равномерно сходящаяся к функции f(z)

на кривой C.

2.4. РЯДЫ.

93

Т е о р е м а

К о ш и .

∫f(z) dz = 0 ,

где

f(z)

— аналитическая функция в одно-

C

связной области G, C — произвольный замкнутый контур в области G.

f(ζ)

И н т е г р а л ь н а я

ф о р м у л а

К о ш и .

f(z) =

1

∫

dζ,

где

2πi

ζ − z

C

C — замкнутый кусочно гладкий контур, ограничивающий область G′

и лежащий в односвяз-

ной области G,

f(ζ)

— аналитическая функция в области G, z G′.

И н т е г р а л

т и п а К о ш и .

Φ(z) =

1

∫

ϕ(ζ)

dζ, где

C — кусочно глад-

2πi

ζ − z

C

кая линия, ϕ(ζ)

— непрерывная функция вдоль C;

точка z не принадлежит линии C, Ф(z)

определяет аналитическую функцию во всякой односвязной области G,

не содержащей C.

n!

ϕ(ζ)

Формула для производной интеграла типа Коши:

Φ(n) (z) =

∫

dζ, n N.

2πi

(ζ − z)n+1

C

Т е о р е м а

Л и у в и л л я . Если f(z)

— аналитическая ограниченная функция

во всей плоскости, то f(z) = const.

Т е о р е м а

М о р е р а . Если

f(z)

— непрерывная функция в односвязной облас-

ти

G и

∫f(z) dz = 0 для произвольного кусочно гладкого контура C,

лежащего в G,

то

C

f(z)

— аналитическая функция.

Ф о р м у л ы С о х о ц к о г о :

ϕ (z ) =

1

ϕ(ζ)

dζ + 1 ϕ(z ) ,

ϕ (z ) =

1

ϕ(ζ)

dζ −

1 ϕ(z ) , где

2πi ∫

∫ζ − z

i

0

ζ − z

2

0

e

0

2πi

2

0

C

0

C

0

ϕ(z) — аналитическая функция на произвольной замкнутой линии

C,

z0 C,

ϕi(z0) — пре-

2.4. Ряды.

П е р в а я

т е о р е м а

В е й е р ш т р а с с а .

Если

функции

fn(z)

∞

(n = 1, 2, …) — аналитические в области

G и ряд ∑fn (z)

сходится равномерно в любой

n=1

∞

′

f(z) = ∑fn (z)

— аналитическая в области G и

замкнутой области G G , то функция

n=1

d

(k)

∞

d

(k)

имеет место формула почленного дифференцирования

f(z) = ∑

fn (z) ,

где ряд в

dz

(k)

dz

(k)

n=1