4. Функции Бесселя

z2 d2w2 + z dw + (z2

− ν2 )w = 0 ;

dz

dz

решения: функции Бесселя первого рода

J±ν (z) ,

второго рода Yν (z) и третьего рода

Hν(1) (z), Hν(2) (z) (или функции Ганкеля).

Соотношения между функциями Бесселя:

Y (z) =

Jν (z) cos νπ − J−ν (z)

.

ν

sin

νπ

H(1)

(z) = J (z) + iY (z)

H(2)

(z) = J (z) − iY (z)

ν

ν

ν

ν

ν

ν

J

(z)

= (−1)n J

(z)

Y

(z) =

(−1)nY

(z).

−n

n

−n

n

Разложение в ряд:

J (z) =

∞

(−1)k (z 2)2k+ν

;

J

(z)

=

∞

(−1)k (z 2)2k−n

;

ν

∑ k! Γ(k + ν +1)

−n

∑

k!(k − n)!

k=0

k=n

1

z

−n n−1 (n − k −1) ! z2 k

2

z

Yn (z) = −

+

ln Jn (z) −

∑

k!

4

π

π

2

2

k=0

1

z

n

∞

(−z2

4)k

−

∑

[ψ(k +1) + ψ(n + k +

1)]

.

π

k!(n + k)

!

2

Интегральные представления:

k=0

(z 2)ν

π

ν θdθ =

Jν (z) =

cos (z cos θ)sin2

π Γ(ν +1 2) ∫

0

2 (z 2)ν

1

(1 − t2 )

ν−1 2

=

∫

cos zt dt

(Re ν > −1 2);

π Γ(ν +1 2)

0

Y (z) = 1 π sin

zsin θ − νθ dθ −

1 ∞

eνt + e−νt cos

νπ

}

e−zshtdt

arg z

<

π

;

ν

π ∫

(

)

π ∫

{

(

)

2

0

0

1

π

sin νπ

∞

−zsh(t−νt)

π

Jν (z) =

∫

cos (zsin θ − νθ)dθ −

∫

e

dt

arg z

<

π

π

2

;

0

0

Jn (z) =

1 π cos (zsin θ − nθ)dθ.

π ∫0

Дифференцирование (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)):

1 d m

zν f (z) = zν−m f

(z);

ν

ν−m

z dz

1 d

m

z−ν f

(z) =

(−1)m z−ν−m f

(z).

ν

ν+m

z dz

VI.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

105

Произведение функций Бесселя:

Jν (z) Jµ (z) =

∞

(−1)k (z 2)ν+µ+2k Γ(ν + µ + 2k +1)

.

∑k! Γ(µ + k +1) Γ(ν + k +1) Γ(ν + µ + k +1)

k=0

Рекуррентное соотношение (здесь f — любая из функций J, Y, H(1), H(2)):

f

(z) + f

(z) =

2ν

f (z) .

ν−1

ν+1

z ν

J

(z) = (−1)n+1Y

(z);

Y

(z) = (−1)n J

(z).

−n−1 2

n+1 2

−n−1 2

n+1 2

Связь с элементарными функциями:

J

(z) = (−1)n

2

zn+1

1

d n sin z

;

n+1 2

πz

z

z dz

Y

(z) = (−1)n+1

2

zn+1

1 d n cos z

;

n+1 2

πz

z

z dz

J

(z) J

(z) + J

(z) J

(z) = 2sin νπ ;

ν

−ν+1

−ν

ν+1

πz

J

(z)Y

(z)

−Y

(z) J

(z) =

2

.

ν

ν−1

ν

ν−1

πz

−

iπν

iπ

−π < arg z -

π

2

Jν (ze

2

)

;

e

2

Iν (z) =

3iπν

3iπ

π

−

e

2

Jν (ze

2

)

2

< arg z

- π

;

Kν (z) =

π

[I−ν (z) − Iν (z)];

2sin πν

I

(z) = I (z);

K

(z) = K (z);

I (−z) = (−1)n I (z) .

−n

n

−n

n

n

n

∞

(z 2)2k+ν

Разложение в ряд:

Iν (z) =

;

∑k! Γ(k + ν +1)

k=0

K (z)

= 1 z

−n

n−1

(n

− k −1)! − z2 + (−1)n+1 ln z

I (z)

+

n

2

∑

k!

4

n

2

k=0

2

(−1)n

z n

∞

(z2

4)k

+

∑

[ψ(k

+1) + ψ(n + k +1)]

.

2

k!(n

+ k)!

2

Интегральные представления:

k=0

I (z)

= 1 π ez cos θ cos νθdθ − sin νπ ∞ e−z ch(t−νt) dt

arg z

< π

;

ν

π ∫

π

∫

2

0

0

π (z

2)

ν ∞

−zt

(t

2

−1)

ν−1 2

1

π

Kν (z) =

e

dt

Re z > −

,

arg z

<

;

Γ(1 2

+ ν) ∫

2

2

1

I (z) =

1

π ez cos θ cos nθdθ.

n

π

∫0