Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский финансово-промышленный университет Синергия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matem-ege-shpora / Математика формулы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

http://vk.com/ege100ballov

4.Некоторые неопределенные интегралы

4.1.Интегралы от рациональных функций.

И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е

∫Xn dx =

Xn+1

(n ≠ −1);

a (n +1)

∫

;

∫

x dx

−

;

∫

x dx

;

∫

x dx

−1

n−2

n−1

(n −1)X

(n − 2)X

∫

x2dx

− 2bX + b2 ln

;

∫

x2dx

− 2bln

−

;

∫

x2dx

−

;

∫

x2dx

−1

− 3)Xn−3

(n − 2)Xn−2

X = ax + b.

(n ≠ 1, 2) ;

	b2
−			(n ≠ 1, 2, 3) ;
−		n−1	(n ≠ 1, 2, 3) ;
	(n −1)X	n−1
	(n −1)X

∫xXdx = − 1b ln

;

∫

= −

;

n−1

= −

−

∑

(−a)

∫xXn

n−1 iXi

i=1

∫

= −

;

x X

∫

= −a

−

;

b X

ab x

(−a)i−1xi−1

∫

= −

∑Cni

x2Xn

bn+1

(i −1)Xi−1

i=2

(n .1) ;

− naln	X	(n . 2) ;
	X
	x
	x

http://vk.com/ege100ballov

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

m+n−2

Xm−i−1(−a)i

∫

= −

∑ Cmi +n−2

;

xmXn

bm+n−1

(m − i −1)xm−i−1

i=0

если

m – i – 1 = 0,

то соответствующий член

под

знаком

суммы

заменяется

членом

Cm−1

(−a)m−1 ln

m+n−2

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е X = ax2 + bx + c (∆ = 4ac – b2).

arctg

2ax + b

(для ∆ > 0),

∆

∫

2ax + b − −∆

−

(для ∆ < 0);

−∆

2ax + b +

−∆

∫

2ax + b

(2n − 3)2a

∫

;

(n −1)∆Xn−1

(n −1)∆

Xn−1

∫

x dx

−

∫

X ;

∫

x dx

= −

bx + 2c

−

b(2n − 3)

∫

;

(n −1)∆Xn−1

(n −1)∆

Xn−1

∫

x2dx

−

− 2ac

∫

;

x2dx

−x

(n − 2)b x dx

∫

∫Xn

−

∫

;

(2n − 3) aXn−1

(2n − 3)a

∫

xmdx

= −

xm−1

(m −1) c

∫

xm−2dx

−

(2n − m −1) aXn−1

(2n − m −1) a

(n − m)b

xm−1dx

−

∫

(m ≠ 2n

−1);

(2n − m −1) a

2n−1

2n−3

2n−2

∫x

Xndx = a1 ∫x Xn−1dx − ac

∫x

Xndx − ab

∫x

Xndx ;

∫xX

−

∫

X ;

∫

−

+ c

;

xXn

2c(n −1)Xn−1

xXn−1

∫

−

;

∫

= −

−

(2n + m − 3) a

∫

−

−1) cx

m−1 n−1

(m −1) c

m−2

−

(n + m − 2) b

∫

> 1) ;

(m −1) c

xm−1Xn

http://vk.com/ege100ballov

4.1. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е X = a2 ± x2.

a + x

Через

Y обозначено

arctg x

для знака плюс, arth x =

1 ln

для знака минус

a − x

при | x | < a,

arth x

1 ln

a + x

для знака минус при | x | > a.

В случае двойного знака в

x − a

формуле верхний знак относится к X = a2 + x2, нижний знак — к X = a2 – x2.

∫dxX = a1 Y ;

2n −1

∫

;

n+1

2na

∫

x dx

= ± 2 ln

;

∫

x dx

(n ≠ 0) ;

n+1

2nX

∫x2Xdx = ±x aY ;

∫

x2dx

∫

(n ≠ 0) ;

Xn+1

2nXn

∫

x3dx

= ±

2 −

;

∫

x3dx

2 ln

;

∫x ndx+1

= −

(n > 1) .

2(n

−1)X

n−1

2nX

И н т е г р а л ы ,

с о д е р ж а щ и е

X = a3 ± x3.

В случае двойного знака в

формуле верхний знак относится к X = a3 + x3, нижний знак — к X = a3 – x3.

∫dx

= ±

(a ± x)2

arctg 2x a ;

ax + x

a 3

∫

;

3a3X

3a3

∫

x dx

a2 ax + x2

2x a

arctg

a 3 ;

(a ± x)2

∫

x dx

∫

x dx

;

3a2X

3a2

∫

x2dx

= ±

;

3 ln

http://vk.com/ege100ballov

42	III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫xX2dx2 = 31X ;

∫x3Xdx = ±x a3 ∫dxX ;

∫xX3dx2 = 3xX ± 13 ∫dxX .

И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е X = a4 + x4.

∫a4dx+ x4

∫x dx a4 + x4

∫x2dx a4 + x4

∫x3dx a4 + x4

x2 + ax

2 + a2

− ax

2 + a

arctg

2 ;

= −

x2 + ax

2 + a2

− ax

2 + a

1 ln(a4

+ x4) .

+		1	arctg	ax	2	;
+		3	arctg	2	2	;
	2a	2		a − x

+	1	arctg	ax	2	;
			2	2
	2a 2		a − x

И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е X = a4 – x4.

∫

a + x

;

a − x

arctg a

− x4

4a3

2a3

∫

x dx

+ x2

;

− x

∫

x2dx

a + x

−

;

a − x

arctg a

− x4

∫

x3dx

a4 − x4

= − 4 ln

a4 − x4

4.2. Интегралы от иррациональных функций.

И н т е г р а л ы

в и д а

∫

x±n+1 2dx

(при a > 0,

(a ± bx)

∫

x dx

− b b arctg

;

a + bx

a +

∫

x dx

= −

;

a − bx

b b

a − bx

∫

x dx

±x x

2m − 5

(a ± bx)m

(m −1) a(a ± bx)m−1

2a(m −1)

b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 2, 3, …).

∫	x dx	(m . 2) ;
	(a ± bx)m−1

http://vk.com/ege100ballov

4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

∫

x x dx

= −

6a x − 2bx x

2a2

arctg

;

a + bx

∫

x x dx

= −

6a x + 2bx x

a a

a + bx

;

a − bx

a −

∫

x x dx

= ±

∫

x dx

(m . 2) ;

(a ± bx)m

(m −1)(a ± bx)m−1

2b(m −1)

(a ± bx)m−1

x dx

(−1)

n−k

n+1

∫

= 2 x ∑

(n . 2) ;

a ± bx

(2n

− 2k +1)(±b)

k+1

n+1

k=0

( b)

∫ x(a ± bx)

∫

arctg

;

x(a + bx)

∫

a +

;

x(a − bx)

a − bx

∫

arctg

;

x (a + bx)2

a(a + bx)

∫

a +

;

x (a − bx)2

a(a − bx)

2a ab

a − bx

∫

(2m − 3) b

∫

x dx

x (a ± bx)m

a(a ± bx)m−1

(a ± bx)m

И н т е г р а л ы

в и д а

∫

x±ndx

(при n = 0, 1, 2, …;

m = 1, 3, 5, …).

(a + bx)

∫

= b

a + bx ;

a + bx

∫

x dx

a + bx

;

(a + bx)

m−2

m − 2

m − 4

∫

x2 dx

−

(a + bx)2

2a(a + bx)

−

;

(a + bx)m

(a + bx)m−2

m − 6

m − 4

m − 2

x3dx

(a + bx)3

3a(a + bx)2

3a2 (a

+ bx)

−

;

m−2

m − 8

m − 6

m −

m − 2

(a + bx)

	xndx				2		n (−1)kCk(a + bx)n−kak
∫			=				∑	n	;
∫	(a + bx)	m	=	n+1	(a + bx)	m−2	∑	2n − 2k − m + 2	;
	(a + bx)			b	(a + bx)		k=0

http://vk.com/ege100ballov

44	III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

a + bx −

a + bx +

∫x a + bx

arctg

a + bx

−a

(a > 0),

(a < 0);

∫

(m . 3) ;

x (a + bx)

(m − 2) a (a + bx)

m−2

x (a + bx)

m−2

∫

= −

a + bx

−

(2n − 3) b

∫

(n . 2) ;

xn a + bx

(n −1) axn−1

2(n −1) a

xn−1 a + bx

∫

= −

−

∫

(n . 2) ;

(a + bx)

(n −1) x

n−1

(a + bx)

2(n −1)

n−1

(a + bx)

m+2

−2

−

∫

(m . 3) .

(m −

2) bx

m−2

(m − 2) b

n+1

(a + bx)

m−2

(a + bx)

И н т е г р а л ы

в и д а

∫x±n (a + bx)m dx

(при n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

∫ (a + bx)m dx =

(a + bx)m+2

;

(m + 2) b

∫x (a + bx)m dx =

(a + bx)

m+4

(a + bx)

m+2

−

;

m + 4

m + 2

(a + bx)

m+6

2a (a + bx)

m+4

(a + bx)

m+2

∫x2 (a + bx)m dx =

−

;

m + 6

m + 4

m + 2

2 (a + bx)

m+2

(−1)

n−k

∫x

+ bx)

∑

Cn (a + bx)

;

bn+1

2n − 2k + m + 2

k=0

a + bx +

a + bx

−

(a > 0),

a ln

a + bx

∫

a + bx +

arctg

+ bx

(a < 0);

−a

∫

(a + bx)m

dx =

2(a + bx)m / 2

+ a∫

(a + bx)m / 2−1

dx ;

∫

(a + bx)m

(a + bx)m+2

∫

(a + bx)m

dx = −

+ 2a

dx ;

2ax2

a + bx

(a + bx)3

(5 − 2n) b a + bx

∫

= −

∫

dx (n . 2) ;

(n −1) axn−1

2a(n −1)

xn−1

http://vk.com/ege100ballov

	4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.							45
∫	(a + bx)m		(a + bx)m+2		b(m − 2n + 4)	∫	(a + bx)m	dx (n . 2) ;
		dx = −		+
	xn		(n −1) axn−1		2a(n −1)		xn−1

И н т е г р а л ы в и д а ∫x±n (a + bx)±n (c + fx)±m dx (∆ = af – bc ≠ 0, n = 1, 3, 5, …; m = 1, 3, 5, …).

∫	dx

	(a + bx)(c + fx)

	−1				2bfx + af + bc
									(bf < 0),
	−bf arcsin					∆
	−bf arcsin					∆

	2
	2
=		ln		bf(a + bx) + b			c + fx		(bf > 0),
=	bf	ln		bf(a + bx) + b			c + fx		(bf > 0),


	2					−f(a + bx)
	2		arctg			−f(a + bx)		(b > 0, f < 0);
			arctg					(b > 0, f < 0);
	−bf					b(c + fx)
	−bf					b(c + fx)

∫	dx		= −	2	a + bx	+

				∆(m − 2)	(c + fx)m−2
	(a + bx)(c + fx)	m

+ b(m − 3)		∫	dx
+ b(m − 3)			dx

	2		(a + bx)(c + fx)	m−2
			(a + bx)(c + fx)

(a + bx)(c + fx)

∆

arcsin

2bfx + af + bc

∆

∫

a + bx

−bf

c + fx

dx =

(a + bx)(c + fx)

∆

−

bf(a + bx) + b c + fx

f bf

(a + bx)n−2

(a + bx)n

2 (a + bx)n (c + fx)

n∆

∫

dx =

−

∫

dx ;

c + fx

(n +1)f

c + fx

(m . 3);

(bf < 0),

(bf > 0);

∫

a + bx

dx = −

a + bx

∫

(m . 3) ;

m−2

f(m − 2)

(a + bx)(c + fx)

m−2

(c + fx)

f(m − 2) (c + fx)

∫ (a + bx)n (c + fx) dx =

2 (a + bx)n+2 (c + fx)

∆

∫

(a + bx)n

dx.

b(n + 3)

c + fx

И н т е г р а л ы в и д а ∫

xn dx

(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

2 2 m

+ b x )

∫

1 ln

bx + (a2

+ b2x2)m

;

2 2

+ b x

(m−3) 2

2k+1

(−1)

∑

C(m−3) 2 b

(m . 3) ;

∫

(a2 + b2x2)m

m−1

(2k +1) (a2 + b2x2)2k+1

k=0

http://vk.com/ege100ballov

46 III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫	x dx					=		1		a2 + b2x2 ;
∫	2		2	2		=		2		a2 + b2x2 ;
	a		+ b x					b
∫			x dx						= −			1					(m . 3) ;

	(a	2	2		2	)	m				2	2	2	2	)	m−2
	(a		+ b x			)					(m − 2) b	(a	+ b x		)

∫	x2dx			=
	2	2	2
	a	+ b x
∫	x2dx
	2	2	2 3
	(a	+ b x )

x a2 + b2x2

−

bx + a2 + b2x2

;

bx + a2 + b2x2

= −

b2 a2 + b2x2

И н т е г р а л ы в и д а ∫				dx			(a > 0, b > 0, n = 1, 2, 3, …; m = 1, 3, 5, …).
И н т е г р а л ы в и д а ∫	x	n	2	2 2	)	m	(a > 0, b > 0, n = 1, 2, 3, …; m = 1, 3, 5, …).
	x		(a	+ b x	)

∫

= − 1 ln

a + a2 + b2x2

;

+ b x

(m−1) 2

∫

∑

−

)

m−

+ b x

k=1

(m − 2k) a

(a + b x

−

a + a2 + b2x2

∫

= −

a2 + b2x2

;

+ b x

a x

(m−1) 2

(−1)

2k−1

∑

C(m−1) 2 b

;

m+1

∫x2 (a2 + b2x2)m

k=0

(2k −1) (a2 + b2x2)2k−1

∫

a2 + b2x2

a + a2 + b2x2

= −

;

+ b x

∫

= −

−

)

m−2

+ b x

(m −

2)b x

+ b x

−

(m − 2) b2 ∫x5 (a2 + b2x2)m−2

(m . 3);

И н т е г р а л ы в и д а				∫x±n (a2 + b2x2)m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…).
∫	a2	+ b2x2 dx =	x	a2 + b2x2	+	a2		bx + a2 + b2x2	;

							ln
				2		2b

http://vk.com/ege100ballov

4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

ma2

∫ (a2 + b2x2)m dx =

(a2 + b2x2)m

+ m +1 ∫ (a2 + b2x2)m−2 dx ;

m +1

∫x

(a2 + b2x2)m dx =

(a2

+ b2x2)m+2

;

(m +

2) b

∫x2

(a2 + b2x2)m dx =

x (a2 + b2x2)m+2

∫ (a2 + b2x2)m dx;

−

(m + 3) b

∫xn

(a2 + b2x2)m dx =

xn−1

(a2 + b2x2)m+2

a2(n −1)

∫xn−2 (a2 + b2x2)m dx ;

−

(m + n +1) b

b (m + n

a2 + b2x2

a + a2 + b2x2

dx = a2 + b2x2 − aln

;

∫

(a2 + b2x2)m

∫

(a2 + b2x2)m−2

dx =

+ a2

dx ;

a2 + b2x2

dx = −

+ bln

bx + a2 + b2x2

;

∫

(a2 + b2x2)m

(a2

+ b2x2)m

∫ (a2 + b2x2)m−2 dx .

dx = −

+ mb2

И н т е г р а л ы в и д а

∫x±n

(a2 − b2x2)m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…).

∫ a2

− b2x2 dx =

x a2 − b2x2

2b arcsin a

;

ma2

∫ (a2 − b2x2)m dx =

(a2 − b2x2)m

+ m +1 ∫ (a2 − b2x2)m−2 dx (m . 3) ;

m +1

∫x a2 − b2x2 dx = −

(a2

− b2x2)3

;

∫x (a2 − b2x2)m dx = −

(a2 − b2x2)m+3

;

(m +

2) b

∫x2

a2 − b2x2 dx =

2b2x3

− a2x

a2 − b2x2 +

arcsin

;

x (a2 − b2x2)m+2

∫x2

(a2 − b2x2)m dx = −

∫ (a2 − b2x2)m dx;

+ 3) b

3) b

∫

− b2x2

dx = a2 − b2x2 − aln

a + a2 − b2x2

;

http://vk.com/ege100ballov

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫

(a2 − b2x2)m

+ a2 ∫

(a2

− b2x2)m−2

dx (m . 3) ;

dx =

∫

a2 − b2x2

− b2x2

dx = −

− barcsin a ;

∫

(a2 − b2x2)m

∫

(a2

− b2x2)m−2

∫ (a2 − b2x2)m−2 dx .

dx = a2

dx − b2

И н т е г р а л ы в и д а ∫

xndx

(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …).

2 2 m

(a − b x )

∫

1 arcsin bx

;

a − b x

(m−3) 2

2k+1

∫

∑

C(m

−3) 2b

. 3) ;

(a2 − b2x2)m

m−1

k=0

(2k +1) (a2 − b2x2)2k+1

∫

x dx

= −

a2 − b2x2

;

a2 − b2x2

x dx

;

(a2 − b2x2)m

(m − 2) b2 (a2 − b2x2)m−2

x2dx

= − x a2 − b2x2

arcsin bx

;

a2 − b2x2

2b2

2b3

x2dx

−

arcsin

;

(a2 − b2x2)3

b2 a2 − b2x2

x2dx

(m−5) 2

C(m−

2k+3

∑

5) 2b

(m . 5) ;

∫ (a2 − b2x2)m

m−3

(2k + 3) (a2 − b2x2)2k+3

k=0

∫

xndx

= −

xn−1 a2 − b2x2

n −1

∫xn−2 a2 − b2x2 dx ;

− b x

∫

x2k+1dx

∫

tkdt

(t = x2) ;

)

2 2

)

− b x

− b t

∫

xndx

xn−1

−

)

−

)

m−2

− b x

2) (a

− b x

−

n −1

∫

xn−2dx

(m . 3);

−

)

m−2

− b x

http://vk.com/ege100ballov

4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

И н т е г р а л ы

в и д а

∫

(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2,…; m = 1, 3, 5,…).

)

− b x

a + a2 − b2x2

∫

= −

1 ln

;

2 2

− b x

(m−1) 2

∫

= ∑

−

)

(m −

2k) a

)

m−2k

− b x

k=1

− b x

−

a + a2 − b2x2

(m . 3);

∫

= −

a2 − b2x2

;

x2 a2 − b2x2

a2x

(m−1) 2

2k−1

∑

C(m−1) 2 b

(m . 3) .

∫x2 (a2 − b2x2)m

m+1

(2k −1) (a2 − b2x2)2k−1

k=0

И н т е г р а л ы в и д а

∫x±n

(b2x2 − a2)±m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…).

∫

1 ln

bx + b2x2

− a2

;

2 2

b x − a

(m−1) 2 (m−3) 2

(−1)

2k+1

∫

(−1)

∑

C(m

−3) 2 b

(b2x2 − a2)m

m−1

(2k +1) (b2x2 − a2)2k+1

k=0

∫

x dx

= −

;

− a

)

m−2

(b x

(m − 2) b

(b x

− a )

∫

x2dx

x b2x2 − a2

bx + b2x2 − a2

;

b2x2 − a2

2b3

∫

x2dx

bx + b2x2 − a2

= −

;

(b2x2 − a2)3

b2 b2x2 − a2

(m−3) 2 (m−5) 2

(−1)

2k+3

∫

(−1)

∑

C(m−5) 2 b

(b2x2 − a2)m

m−3

(2k + 3) (b2x2 − a2)2k+3

k=0

(m . 3) ;

(m . 5) ;

∫

xndx

xn−1 b2x2 − a2

n −1

∫xn−2 b2x2 − a2 dx ;

−

b2x2 − a2

∫

xndx

= −

xn−1

n −1

∫

xn−2dx

(m .3);

(b2x2 −a2)m

b2(m −2)

(b2x2 −a2)m−2

b2(m −2)

(b2x2 −a2)m−2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке matem-ege-shpora

#
03.06.20151.37 Кб17README.txt
#
03.06.20151.1 Mб31математика С1.pdf
#
03.06.20154.5 Mб42математика С2.pdf
#
03.06.20151.89 Mб31математика С3.pdf
#
03.06.20152.19 Mб87математика С4.pdf
#
03.06.20152.28 Mб35Математика формулы.pdf
#
03.06.20151.21 Mб25Математика формулы1.pdf
#
03.06.20152.9 Mб87Математика шпаргалка.pdf