Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский финансово-промышленный университет Синергия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matem-ege-shpora / Математика формулы.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

http://vk.com/ege100ballov

2.Функциональные ряды

2.1.Основные определения.

Ряд, членами которого являются некоторые функции, называется функциональным рядом.

∞

Множество значений x, при которых функциональный ряд ∑fn (x) сходится, называ-

n=1

ется областью сходимости ряда.

∞

Функции Sm(x) = ∑fn (x) называются частичными суммами ряда.

n=1

∞

Функция S(x) = ∑fn (x) в области сходимости ряда называется суммой ряда.

n=1

∞

Функциональный ряд ∑fn (x) называется равномерно сходящимся на промежутке X,

n=1

если последовательность {Sn(x)} его частичных сумм сходится равномерно.

∞

Функциональный ряд вида ∑an (x − x0)n , где an и x0 — некоторые (действитель-

n=1

ные) числа, а x — переменное, называется степенным рядом.

Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал | x – x0 | < R (R — радиус сходимости), на котором степенной ряд сходится (а вне его — расходится).

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности x0 и имеет в этой точке произ-

	∞	f(n) (x )
	∑	n!	(x − x )n
водные всех порядков, то ряд		0	(x − x )n	называется рядом Тейлора функции f(x)
			0

n=0

в точке x0.

Правила действий с функциональными рядами в области их сходимости совпадают с правилами действий для сходящихся числовых рядов (см. п. 1.1).

2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.

					∞
К р и т е р и й	К о ш и . Для того чтобы ряд ∑fn (x) равномерно сходился на
					n=1
некотором промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал
такой номер N = N(ε),	что для всех n > N, всех натуральных p и всех x X
				n+p
				n+p
		Sn+p (x) − Sn (x)	=	∑ fi (x)	< ε.
		Sn+p (x) − Sn (x)	=	∑ fi (x)	< ε.
				i=n+1

http://vk.com/ege100ballov

2.3. СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ.					83
			∞
П р и з н а к	В е й е р ш т р а с с а .		Ряд ∑fn (x)	сходится абсолютно и рав-
			n=1
номерно на промежутке X, если существует такой сходящийся числовой ряд с положитель-
∞
ными членами ∑rn ,	что \| an(x) \| - rn.
n=1
		∞
П р и з н а к	А б е л я . Ряд	∑fn (x) gn (x) сходится равномерно на промежутке
∞		n=1
∞
X, если ряд ∑fn (x)	сходится равномерно на X;		последовательность {gn(x)} ограничена
n=1
и монотонна при каждом x X.		∞
		∞
П р и з н а к	Д и р и х л е .	Ряд ∑fn (x) gn (x) сходится равномерно на X, если
		n=1
		∞
последовательность частичных сумм		∑fn (x)	ограничена на	X	и последовательность
		n=1

{gn(x)} монотонна для всех x X и равномерно стремится к нулю на X.

2.3. Свойства функциональных рядов.

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть непрерывная функция.

∞

Если ряд ∑fn (x)

сходится равномерно на промежутке X и для любого n существуют

n=1

конечные пределы

lim f (x) ,

то ряд

∞

сходится и

( lim f (x) )

x→x

∑ x→x

n=1

∞

lim

∑

f (x)

(x)

lim

x→x0 ∑ n

x→x0

n=1

∞

Если члены сходящегося ряда

∑fn (x)

непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b]

n=1

∞

и ряд производных

∑

fn (x)

сходится равномерно на [a, b],

то

n=1

∞

∑fn (x) = ∑

fn (x) .

n=1

∞

Если члены ряда ∑fn (x)

непрерывны на отрезке

[a, b]

и этот ряд сходится равномер-

n=1

b ∞

∞

но на [a, b], то

∫

∑

f (x) dx и ряд в правой части равенства равномерно

(x) dx =

∑ n

∫ n

n=1

n=1 a

сходится на [a, b].

http://vk.com/ege100ballov

84	IV.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда

Формула Коши–Адамара:

lim

n→∞

Если существует предел

lim

, то R =

lim

an+1

n→∞

∞

∑an (x −x0)n .

n=0

2.5. Действия со степенными рядами.

∞

Внутри общего интервала сходимости |

x – x0 | < R степенных рядов ∑an (x − x0)n ,

n=0

∞

∑bn (x − x0)n

справедливы равенства:

n=0

∞

∑an (x − x0)n + ∑bn (x − x0)n = ∑(an + bn) (x − x0)n ;

n=0

∞

∑an (x − x0)n ∑bn (x − x0)n

= ∑cn (x − x0)n ,

где

cn = ∑aibn−i ;

n=0

i=0

∞

∑

(x − x )n

∑

(n +1) a

(x − x )n ;

n=0

∞

∫ ∑an (x − x0)n dx

= ∑

(x − x0)n+1 + c

(c = const) .

n=0

n=0 n +1

2.6. Некоторые степенные ряды.

∞

n m (m −1)…(m − n +1)

(1 ± x)

= 1 + ∑(±1)

(m > 0) ;

n=1

(

)

(

)(

)

(1 ± x)

m −

m −1

m −

-1) ;

= 1 ± 1! +

+… (

∞

n m (m +1)…(m + n −1)

(1 ± x)

−m

= 1 + ∑( 1)

n=1

= 1 mx		+	m (m +1)x2

1!		2!
∞		x2n−1			x3
sin x = ∑(−1)n−1
				= x −
	(2n −1) !				3!
n=1

m (m +1)(m + 2)x3

+…

(m > 0;

< 1);

−… (

< ∞) ;

∞	x2n		x2	x4	x6
cos x = ∑(−1)n
		= 1 −	2! +	4! −		+ … (	x	< ∞) ;
	(2n) !				6 !

n=0

http://vk.com/ege100ballov

2.6. НЕКОТОРЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

∞

22n (22n −1)Bn

tg x =

∑

= x

+…

;

(2n) !

315

2835

n=1

∞

22nB

1 x x3

2x5

∑

x2n−1 =

ctg x =

−

+ …

< π) ;

n=1 (2n) !

945

4725

∞

5x4

61x6

277x8

∑

sec x = 1 +

= 1 +

+…

;

(2n) !

720

8064

n=1

2 (22n−1 −1)

cosec x = 1 +

∞

B x2n−1 =

∑

(2n) !

n=1

+ x

7x3

31x5

127x7

…

(0 <

< π);

∞

360

15120

604800

ex = ∑n!

1 +

+…;

n=0

∞

(−1)n+1Bnx2n

B1x2

B2x4

B3x6

= 1 − x

+ ∑

= 1 − x

−

−…

−1

n=1

(2n) !

6 !

esin x = 1 + x + x2

−

3x4

−

8x5

−

3x6

56x7

+ …

(

< ∞);

6 !

ecos x

4x4

31x6

(

< ∞);

= e 1

−

…

6 !

tg x

= 1 + x +

3x3

9x4

37x5

+ …

;

earcsin x = 1 + x + x2

2x3

5x4

+ …

(

< 1);

earctg x = 1 + x + x2

− x3

−

7x4

5x5

+ …

(

< 1);

∞

(

−1

2n+1

(x −1)

−1)

)

x −1

ln x = 2∑

2n+1 = 2

5 (x +1)

5 +…

n=0

(2n +1)(x +1)

3 (x +1)

∞ (−1)n+1

(

x −1 n

(x −1)

(x −

−1)

ln x = ∑

)

(x −1) −

−

+…

n=1

∞

x −1 + (x −1)2 2 +

(x −1)3 3 +… (x > 1 2);

ln x = ∑(x −1)n n

n=1

n x

∞

(−1)n+1xn

ln (1 + x) = ∑

= x −

2 +

3 −

+ …

(−1 < x -1);

n=1

(x < 2π);

(x > 0);

(0 < x - 2);

http://vk.com/ege100ballov

IV.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

∑

ln (1 − x) = −

= −

x + x

+ x

+ …

(−1 - x < 1);

n=1

1 + x

= 2

∞

x2n+1

+ x3

+ x5 +

+…

(

< 1);

∑

1 − x

2n +1

n=0

x +1

∞

∑

(

> 1);

= 2

+…

(2n +1) x2n+1

3x3

5x5

7x7

x −1

n=0

∞

1 3 5 … (2n −1)x2n+1

arcsin x = x + ∑

2 4 6 …

(2n)(2n +1)

n=1

= x +

1 3x3

1 3 5x3

+ …

(

< 1);

2 3

2 4 5

2 4 6 7

∞

3 5 … (2n −1) x2n+1

arccos x =

− x −

∑1

n=1

2 4 6 … (2n) (2n +1)

π −

1 3x

3 5x

(

< 1);

+…

2 3

2 4 5

2 4 6 7

∞

(−1)nx2n+1

arctg x = ∑

= x −

−

+…

(

< 1);

2n +1

n=0

∞

(−1)

n+1

arctg x = ±

+ ∑

= ±

−

−…

(

> 1);

(2n +1) x

2n+1

n=0

∞

(−1)

n+1

2n+1

∑

(

< 1);

arcctg x =

−

x −

−

+…

2n +1

∞

n=0

(−1)n

arcctg x = ∑

−

+…

(x > 1);

(2n

+1) x

n=0

∞

(−1)n

arcctg x = π + ∑

= π +

−

+ …

(x < −1);

(2n +1) x

2n+1

n=0

∞

x2n−1

sh x = ∑

(

< ∞);

= x + 3! +

5! +

+…

(2n −1) !

n=1

∞

x2n

ch x = ∑

= 1 + 2! +

4! +

+…

(

< ∞);

(2n) !

6 !

n=0

th x = ∞

(−1)n+122n(22n −1)

Bnx2n−1 = x − x3 +

2x5

−

17x7

62x9

−…

π ;

∑

(2n)!

315

2835

n=1

∞

cth x = 1 +

(−1)n+122n

B x2n−1 = 1 + x − x3

+ 2x5

−

+…

(0 <

< π);

∑

(2n) !

945

4725

n=1

http://vk.com/ege100ballov

	2.6. НЕКОТОРЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.		87
∞
arsh x = x + ∑(−1)n 1 3 5 … (2n −1) x2n+1		=
n=1	2 4 6 … (2n) (2n +1)
n=1

= x −

1 3x5

−

1 3 5x7

+…

(

< 1);

2 3 2 4 5 2 4 6 7

∞

1 3 5 … (2n −1)

(

)

∑

arch x = ± ln

−

2 4 6 … (2n) (2n) x2n

n=1

= ± ln (2x) −

−

1 3

−

1 3 5

2 2x

2 4 4x

2 4 6 6x

∞

x2n+1

arth x = ∑

= x +

+…

(

< 1);

2n +1

n=0

∞

arcth x = ∑

+…

(2n +1) x

n=0

−…	(x > 1);

(x > 1).

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке matem-ege-shpora

#
03.06.20151.37 Кб17README.txt
#
03.06.20151.1 Mб31математика С1.pdf
#
03.06.20154.5 Mб42математика С2.pdf
#
03.06.20151.89 Mб31математика С3.pdf
#
03.06.20152.19 Mб87математика С4.pdf
#
03.06.20152.28 Mб35Математика формулы.pdf
#
03.06.20151.21 Mб25Математика формулы1.pdf
#
03.06.20152.9 Mб87Математика шпаргалка.pdf

2.Функциональные ряды

2.1.Основные определения.

2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.

2.3. СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ.

2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда

2.5. Действия со степенными рядами.

2.6. Некоторые степенные ряды.