4.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ.

57

∫

ctg x dx

sin2 x

=

;

1

+ ctg2 x

2

∫

ctg x dx

1

∫

tg x dx

=

;

1

+ a2 ctg2 x

a2

1

2

1

+ a2

tg

x

∫

tg x dx

x

1

sin x ± cos x

=

+

2 ln

cos2 x

;

1

± ctg x

2

∫

tg x dx

=

1

b − a

;

arccos

cos x

a + btg2 x

b − a

b

∫

xctg ax dx =

x

−

ax3

−

a3x5

−…−

22nBn a2n−1x2n+1

(Bn − числа Бернулли);

,

a

9

225

(2n +1) !

∫

ctg ax dx

1

ax

(ax)3

2 (ax)5

22nBn (ax)2n−1

= −

−

−

−

−…−

,

x

ax

3

135

4725

(2n −1) (2n) !

eax

ax

(ax)2

(ax)3

∞

(ax)k

∫

dx = ln x +

+

+ 3 3!

+… = ln x + ∑ k k! ;

x

1 1!

2 2!

k=1

eax

dx

=

1

−

eax

+ a

eax

dx

(n ≠ 1);

∫

n

n−1

∫

n−1

x

n −

x

x

1

∫

dx

1

eax

= a ln

;

1 + eax

1 + eax

∫

dx

x

1

ln (b + ceax );

= b

−

b + ceax

ab

∫

eaxdx

=

1

ln (b + ceax );

b + ceax

ac

58

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

∫eax ln x dx =

eax ln x

1

∫

eax

− a

dx ;

a

x

∫eax sin bx dx =

eax

(asin bx − bcosbx);

a2 + b2

∫eax cosbx dx =

eax

(acosbx + bsin bx);

a2 + b2

(

e

ax

sin

n−1

x

n

n −1

∫eax sinn x dx =

(asin x

− ncos x) +

)

∫eax sinn−2 x dx;

a2 + n2

a2 + n2

ax

n−1

n

(

n −1

e

cos

x

∫eax cosn x dx =

(acos x

+ nsin x)

+

)

∫eax cosn−2 x dx;

a2 + n2

a2 + n2

∫xeax sin bx dx =

xeax

(asin bx − bcosbx) −

a2 + b2

−

eax

(a2

− b2) sin bx − 2abcosbx

;

(a2 + b2)2

∫xeax cosbx dx =

xeax

(acosbx − bsin bx) −

a2 + b2

−

eax

(a2

− b2) cosbx − 2absin bx .

(a2 + b2)2

∫

xm ln x dx = xm+1

ln x

−

1

(m ≠ −1);

(

m +1 2

m +1

)

∫xm (ln x)

n

dx =

xm+1 (ln x)n

−

n

∫xm (ln x)

n−1

dx

(m ≠ 1, n ≠ −1);

m +1

m +1

∫

ln x

ln x

1

(m ≠ 1);

m dx = −

−

(m −1)x

m−1

(

2

m−1

x

)

x

m −1

∫

(ln x)n

(ln x)n

n

∫

(ln x)n−1

m

dx = −

+

m

dx (m ≠ 1);

x

(

m −

)

x

m−1

m −1

x

1

∫

dx

= −

1

(n ≠ 1);

x

(

ln x

)

n

(

n −1 ln x

n−1

)(

)

∫

dx

= −

1

− mn −−11

∫

dx

(n ≠ 1);

m

)

n

m−1

(

)(

)

n−1

m

(

)

n−1

x

(

ln x

x

x

ln x

n −1

ln x

x

x

∫arcsin a dx = xarcsin a

+ a2 − x2 ;

∫

xarcsin

x

x2

−

a2

x

+

x

a2

− x2 ;

a

dx =

a

4

arcsin

a

4

x

x3

x

1

(x2 + 2a2 )

∫x2 arcsin a dx =

a arcsin a

+

9

a2 − x2 ;

x

xn+1

x

1

xn+1dx

∫xn arcsin a dx =

arcsin a

−

∫

;

n +1

n +1

a2 − x2

1

x

x

1 x3

1 3

x5

1 3 5

x7

∫x arcsin a dx =

+

+

a5 +

+… =

a

2 3 3

a3

2 4 5 5

2 4 6 7 7

a7

∞

k

(2i − 1)

x2k+1 ∏

x

+ ∑

2i

= a

i=1

;

a2k+1 2k +1 2

k=1

(

)

a + a2 − x2

∫

1

x

1

x 1

arcsin a dx = − x arcsin a

− a ln

;

x2

x

∫

1

x

1

x

1

∫

dx

(n . 2);

arcsin a dx = −

arcsin a

+

x

n

(

)

x

n−1

n −1

x

n−1

2

2

a − x

n −1

60

III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

x

x

∫arccos a dx = xarccos a

−

a2 − x2 ;

∫

xarccos

x

x2

−

a2

x

−

x

a2

− x2 ;

dx =

arccos

a

a

4

a

4

x

x3

x

1

(x2 + 2a2 ) a2 − x2 ;

∫x2 arccos a dx =

3 arccos a −

9

x

xn+1

x

1

xn+1dx

∫xn arccos a dx =

arccos a

+

∫

;

n +1

n +1

a2 − x2

1

x

π

x

1 x3

1 3

x5

∫x arccos a dx =

2 ln

x

− a

−

a3

−

−

2 3 3

2 4 5 5

a5

k

(2i − 1)

7

∞

x2k+1∏

1 3 5

… = π ln

−

x7 −

x

− x − ∑

i=1

2i

;

2k+1

2

2 4 6 7 7 a

2

a

k=1 a

(2k +1)

∫

1

x

1

x 1

a + a2 − x2

arccos a dx = − x arccos a + a ln

;

x2

x

∫

1

x

1

x

1

∫

dx

arccos a dx = −

arccos a −

;

x

n

(

n

)

n−1

n −1

x

n−1

a

2

− x

2

−1 x