- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
http://vk.com/ege100ballov
50 |
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III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
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dx |
|
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= |
1 arccos |
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a |
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; |
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||||||||||||||||||
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2 2 |
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|
2 |
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bx |
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x |
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b x |
− a |
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2 |
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∫ |
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dx |
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= |
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b2x2 − a2 |
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; |
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x2 b2x2 − a2 |
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a2x |
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∫ |
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dx |
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= − |
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1 |
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− |
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x |
n |
2 |
|
2 |
|
2 |
) |
m |
|
|
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|
|
|
|
|
|
2 |
|
n+1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
) |
m−2 |
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
(b x |
|
− a |
|
|
|
|
|
|
(m − 2) b x |
|
|
(b x |
|
|
|
|
− a |
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− |
n +1 |
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dx |
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(m . 3); |
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(m − 2) b2 |
|
∫xn+2 (b2x2 − a2)m−2 |
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||||||||||||||||||||||
∫ |
|
b2x2 − a2 dx = |
x b2x2 − a2 |
− |
a2 |
|
bx + b2x2 − a2 |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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ln |
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2 |
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2b |
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x |
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ma2 |
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||
∫ |
|
(b2x2 − a2)m dx = |
|
|
|
(b2x2 − a2)m − m +1 ∫ (b2x2 − a2)m−2 dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫xn (b2x2 −a2)m dx = |
|
xn−1 (b2x2 −a2)m+2 |
+ |
|
(n −1) a2 |
|
|
∫xn−2 (b2x2 −a2)m dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(m + n +1) b2 |
|
|
|
|
|
|
|
(m + n +1) b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
b2x2 − a2 |
dx = |
b2x2 − a2 − aarccos |
|
a |
|
|
; |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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|
|
|
bx |
|
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∫ |
|
(b2x2 − a2)m |
|
|
dx = −a2 |
∫ |
|
(b2x2 − a2)m−2 |
dx + b2 ∫ |
|
|
(b2x2 − a2)m−2 |
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dx . |
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|
xn |
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xn |
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xn−2 |
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4.3. Интегралы от тригонометрических функций. |
|
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И н т е г р а л ы , |
|
с о д е р ж а щ и е |
с и н у с |
|
|
(n . 0 — целое, a . 0 — действительное). |
∫sinn ax dx = − sinn−1 axcosax + n −1 ∫sinn−2 na n
∫xn sin ax dx = − xn cosax + n ∫xn−1 cosax dx a a
ax dx (n > 0) ;
(n > 0) ;
|
sin ax |
|
|
|
|
(ax)3 |
(ax)5 |
|
|
(ax)7 |
∞ |
|
(−1)k(ax)2k+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
∫ |
|
dx = ax − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
+… = ∑ |
|
|
; |
||||||||
x |
3 3! |
5 5! |
7 7! |
(2k +1) (2k +1) ! |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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k=0 |
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|
sin ax |
1 |
|
sin ax |
|
|
a |
|
|
cosax |
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
xn |
dx = − |
|
|
xn−1 |
+ |
|
|
∫ xn−1 |
dx ; |
|
|
|
|||||||||||
n −1 |
n −1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
1 |
|
|
|
cosax |
n − 2 |
dx |
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
= − |
|
|
|
+ |
n −1 ∫ |
|
|
; |
|
|||||||||||||
sinn ax |
a(n −1) |
sinn−1 ax |
sinn−2 ax |
|
http://vk.com/ege100ballov
4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. |
51 |
∫ |
x dx |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
(ax)3 |
|
+ |
|
7(ax)5 |
|
+ |
|
|
31(ax)7 |
|
+ |
|
127 (ax)9 |
+ |
…+ |
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2 |
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|
sin ax |
a |
|
|
ax |
|
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3 3! |
|
3 |
|
5 5! |
|
|
|
|
3 7 |
7! |
|
3 |
|
5 |
9! |
|
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|
|
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2n−1 |
−1) |
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|||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
+ |
|
2(2 |
|
|
|
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|
|
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|
B (ax)2n+1 + |
|
… |
|
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|
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|
(B |
− числа Бернулли); |
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|
(2n +1) ! |
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|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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∫ |
x dx |
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|
x |
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1 |
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|||||||||||
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|
= − a ctg ax + |
|
ln |
sin ax |
; |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 ax |
a2 |
|
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∫ |
x dx |
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= − |
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xcosax |
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− |
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1 |
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+ |
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sinn ax |
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(n −1) asinn−1 ax |
(n −1)(n − 2) a2 sinn−2 ax |
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n − 2 |
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∫ |
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x dx |
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+ n −1 |
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(n > 2); |
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1 tg π |
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sinn−2 ax |
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∫ |
dx |
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= |
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ax |
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; |
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|||||||||||||||||||||||||||||
1 ± sin ax |
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a |
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4 |
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2 |
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∫ |
x dx |
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= − |
x |
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π |
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− |
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ax |
+ |
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2 |
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π |
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− |
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ax |
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; |
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tg |
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ln |
cos |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + sin ax |
a |
4 |
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2 |
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a2 |
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4 |
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2 |
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∫ |
x dx |
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= |
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|
x |
|
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π |
− |
ax |
+ |
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|
2 |
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π |
|
− |
ax |
|
; |
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ctg |
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ln |
sin |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − sin ax |
|
|
a |
|
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2 |
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a2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
4 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
sin ax dx |
= ±x + |
|
1 tg π |
|
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ax |
|
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; |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 ± sin ax |
|
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|
a |
|
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4 |
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||
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|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 tg π |
|
ax |
|
|
|
+ |
|
1 ln |
|
tg ax |
|
; |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫sin ax (1 ± sin ax) |
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a |
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4 |
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|
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2 |
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|
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|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
− |
ax |
|
|
− |
|
1 |
|
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|
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3 |
|
π |
− |
ax |
|
; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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tg |
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tg |
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
∫(1 + sin ax)2 |
|
|
|
2a |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
6a |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
π |
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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= |
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ctg |
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− |
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+ |
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ctg |
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|
− |
|
|
|
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|
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|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫(1 − sin ax)2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6a |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin ax dx |
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
− |
ax |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
π |
− |
ax |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
tg |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫(1 + sin ax)2 |
|
|
|
2a |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
6a |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin ax dx |
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
− |
|
ax |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
π |
|
− |
ax |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫(1 − sin ax)2 |
|
|
|
2a |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
6a |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin2 ax −1 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg( 2 tg ax) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax |
2 |
|
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax +1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + sin |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
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= ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
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1 |
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|||||||||||||||||
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= a tg ax ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − sin2 ax |
cos2 ax |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫sin axsin bx dx = |
|
|
|
sin (a − b)x |
− |
sin (a + b)x |
|
|
( |
|
a |
|
≠ |
|
b |
|
) ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
2(a − b) |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2(a + b) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
http://vk.com/ege100ballov
52 |
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III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
btg |
2 + c |
|
|
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
(b |
> c |
|
), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dx |
|
|
a b2 |
− c2 |
|
|
|
|
b2 − c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫b + csin ax |
|
|
|
|
btg ax + c − |
c2 − b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
(b |
< c |
); |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
btg |
ax |
+ c + |
c |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
a c |
|
− b |
|
|
|
|
− b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin ax dx |
x |
|
b |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
− c |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b + csin ax |
c |
b + csin ax |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
ax |
|
|
c |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
= |
|
ln |
tg |
|
|
|
|
− b ∫ |
|
|
|
; |
|
|||||||
sin ax (b + csin ax) |
ab |
2 |
|
b + csin ax |
|
||||||||||||||||||
∫ |
dx |
= |
|
|
|
|
c cosax |
|
|
|
+ |
b |
∫ |
|
dx |
; |
|||||||
(b + csin ax)2 |
a(b2 − c2)(b + csin ax) |
b2 − c2 |
b + csin ax |
||||||||||||||||||||
∫ |
sin ax dx |
= |
|
|
|
|
bcosax |
|
|
|
+ |
c |
∫ |
|
dx |
; |
|||||||
(b + csin ax)2 |
a(c2 − b2)(b + csin ax) |
c2 − b2 |
b + csin ax |
∫ |
|
dx |
||
b2 |
+ c2 sin2 ax |
|
||
∫ |
|
dx |
||
|
|
|||
b2 |
− c2 sin2 ax |
|
||
|
|
= |
= |
|
|
1 |
|
|
arctg |
b2 + c2 tg ax |
|||||
ab |
b2 + c2 |
|
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
b2 − c2 tg ax |
||||
ab |
b2 − c2 |
|
|
b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
c2 − b2 tg ax + b |
|
|||
|
2ab c2 − b2 |
c2 − b2 tg ax − b |
||||||||||
|
|
|
|
(b > 0) ;
(b2 > c2, b > 0),
(b2 < c2, b > 0);
И н т е г р а л ы , |
|
|
с о д е р ж а щ и е к о с и н у с . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫cosn ax dx = |
cosn−1 axsin ax |
+ |
n −1 |
∫cosn−2 ax dx; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫xn cosax dx = |
xn sin ax |
|
n |
∫xn−1 sin ax dx; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
− a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
cosax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ax)2 |
(ax)4 |
|
(ax)6 |
|
|
|
|
∞ |
(−1)k(ax)2k |
|||||||||||||||||
∫ |
|
dx = ln(ax) − |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
+… = ln(ax) + ∑ |
|
; |
|||||||||||||||||||||||
x |
2 2! |
|
4 4! |
|
6 6 ! |
2k (2k) ! |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||
|
cosax |
|
|
|
|
|
|
|
cosax |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
sin ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
xn |
dx = − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
∫ xn−1 |
dx (n ≠ 1) ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
(n −1) xn−1 |
|
n −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
= |
|
sec ax dx = |
1 |
ln |
|
|
π |
+ |
ax |
|
= |
1 |
ln |
|
sec ax + tg ax |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫cosax |
∫ |
a |
4 |
2 |
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
dx |
|
= |
|
1 |
|
|
|
sin ax |
+ |
n − 2 |
∫ |
|
dx |
(n > 1) ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
cosn ax |
a(n −1) |
cosn−1 ax |
n −1 |
cosn−2 ax |
|
|
http://vk.com/ege100ballov
4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. |
53 |
∫ |
x dx |
|
|
|
1 |
(ax)2 |
|
|
(ax)4 |
|
|
5 (ax)6 |
|
61(ax)8 |
|
1385 (ax)10 |
|
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||
|
cosax |
|
a |
|
|
2 |
4 2! |
|
6 4! |
8 6 ! |
|
|
10 |
8 ! |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En (ax) |
2n+2 |
|
|
|
|
|
|
− числа Эйлера); |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+…+ |
|
|
+… |
|
(E |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 2) (2n) ! |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= a tg ax + |
|
ln |
cos ax |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos2 ax |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
x dx |
|
|
|
= |
|
|
xsin ax |
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||
cosn ax |
|
|
(n −1) acosn−1 ax |
(n −1)(n − 2) a2 cosn−2 ax |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − 2 |
∫ |
|
|
x dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ n −1 |
|
(n > 2); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosn−2 ax |
∫1 + cosdx ax = a1 tg ax2 ;
∫1 − cosdx ax = − a1 ctg ax2 ;
∫ |
x dx |
x |
ax |
|
2 |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
||
|
|
= a tg |
|
+ |
|
|
ln |
cos |
|
|
; |
|
|||
1 + cosax |
2 |
a2 |
2 |
|
|
||||||||||
∫ |
x dx |
x |
|
ax |
2 |
|
|
|
|
ax |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= − a ctg |
|
+ |
|
ln |
sin |
|
|
; |
|||||
1 − cosax |
2 |
a2 |
|
2 |
∫1cos+ cosax dxax = x − a1 tg ax2 ;
∫1cos− cosax dxax = −x − a1 ctg ax2 ;
|
dx |
= |
1 |
|
|
π |
+ |
ax |
− |
1 |
|
ax |
; |
|
|||
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|||||
∫cosax (1 + cosax) |
a |
4 |
2 |
a |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
= |
1 |
|
|
π |
+ |
ax |
|
− |
1 |
|
|
ax |
; |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|||||
∫cosax (1 − cosax) |
a |
4 |
2 |
a |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
tg |
ax |
+ |
|
1 |
|
tg3 |
ax |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(1 + cosax)2 |
|
2a |
2 |
6a |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ax |
|
|
1 |
ctg3 |
ax |
|
||||||||
|
|
= − |
|
|
|
ctg |
|
|
− |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
(1 − cosax)2 |
|
2a |
2 |
|
6a |
2 |
||||||||||||||||||||||||
∫ |
cosax dx |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
tg |
ax |
− |
|
1 |
tg3 |
ax |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(1 + cosax)2 |
|
2a |
2 |
|
6a |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
cosax dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
1 |
|
|
ax |
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
|
ctg 2 − |
|
ctg3 2 ; |
|
|||||||||||||||||||||
(1 − cosax)2 |
|
|
2a |
6a |
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3 cos2 ax |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|||||||||||
|
1 + cos ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos |
|
|||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
= − a ctg ax ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 − cos2 ax |
|
sin2 ax |
|
|
http://vk.com/ege100ballov
54 |
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III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫cosaxcosbx dx = |
|
sin (a − b)x |
+ |
|
sin (a + b)x |
( |
|
a |
|
≠ |
|
b |
|
) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 (a − b) |
|
|
|
|
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2 (a + b) |
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|||||||||||||||||||||||
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dx |
|
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2 |
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(b − c) tg |
ax |
|
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||||||||||||||
∫ |
|
|
|
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2 |
|
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|
2 |
2 |
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
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|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
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|
(b |
> c |
), |
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|||||||||||
b + c cosax |
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2 |
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|
− c |
2 |
|
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|
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|
2 |
− c |
2 |
|
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b |
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b |
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|||||||
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1 |
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(c − b) tg |
ax |
+ c2 − b2 |
|
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|||||||||||||||||||||
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2 |
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|
|
2 |
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
ln |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
(b |
< c |
); |
|
||||||||||||
|
c2 − b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
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|
2 |
|
2 |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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(c − b) tg |
2 |
|
− c |
|
− b |
|
|
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∫ |
cosax dx |
|
x |
|
b |
∫ |
|
|
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|
dx |
|
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||||||||||
|
|
= c |
− c |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||
b + c cosax |
b + c cosax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
ln |
|
tg |
|
π |
+ |
ax |
|
− |
c |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||||
∫cosax (b + c cosax) |
|
|
ab |
4 |
|
2 |
b ∫b + c cosax |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx |
= |
|
|
|
|
csin ax |
|
− |
|
|
|
b |
|
∫ |
dx |
; |
||||||||
(b + c cosax)2 |
|
a(c2 − b2)(b + c cosax) |
c2 − b2 |
b + c cosax |
|
||||||||||||||||||||
∫ |
cosax dx |
= |
|
|
|
|
bsin ax |
|
− |
|
|
|
c |
|
∫ |
dx |
; |
||||||||
(b + c cosax)2 |
|
a(b2 − c2)(b + c cosax) |
b2 − c2 |
b + c cosax |
|
||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
arctg |
btg ax |
|
(b > 0) ; |
|
|||||||||||
b2 + c2 cos2 ax |
|
ab |
b2 + c2 |
|
b2 + c2 |
|
|||||||||||||||||||
∫ |
dx |
= |
|
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
btg ax |
(b2 > c2, b > 0), |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b2 − c2 cos2 ax |
ab b2 − c2 |
|
b2 − c2 |
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
btg ax − |
c2 − b2 |
|
|
(b2 < c2, b > 0); |
|
|||||||||||
ab c2 − b2 |
btg ax + c2 − b2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И н т е г р а л ы , |
|
|
с о д е р ж а щ и е с и н у с |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
sin x dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||
|
|
|
= − b ln |
|
a + bcos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a + bcos x |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
sin x dx |
|
|
= |
|
|
|
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n . 2) ; |
||||||||||
( |
a + bcos x |
n |
( |
n − |
1 b |
( |
a + bcos x |
n−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
sin x dx |
|
|
|
|
= ln |
|
1 ± cos x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
cos x 1 ± cos x |
) |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
∫ |
|
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
x |
|
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||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
2 ln |
tg 4 |
+ 2 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||
cos x 1 ± sin x |
) |
|
|
|
2 1 ± sin x |
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
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|||||||
∫ |
|
sin x dx |
|
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|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
a + bcos x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||
(a + bcos x)(c + dcos x) |
|
ad − bc |
|
c + dcos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c + dsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
dx |
|
||||||||
∫a + bcos x dx = − b ln |
|
a |
+ bcos x |
|
+ c∫ |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a + bcos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
cos x dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||
|
|
= b ln |
|
a + bsin x |
|
; |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
a + bsin x |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
ик о с и н у с .
(ad − bc ≠ 0);
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4.3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. |
55 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
cos x dx |
= − |
|
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1 |
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(n . 2) ; |
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||||||||||||||||||||
(a + bsin x)n |
(n −1) b(a + bsin x)n−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
cos x dx |
|
|
|
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|
= ln |
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|
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|
sin x |
|
|
; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
sin x (1 ± sin x) |
1 ± sin x |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
cos x dx |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x (1 ± cos x) |
|
2(1 ± cos x) |
|
2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
cos x dx |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
c + dsin x |
|
|
|
|
|
(ad − bc ≠ 0) ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bsin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a + bsin x)(c + dsin x) |
ad − bc |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c + dcos x |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
∫a + bsin x dx = |
|
b ln |
|
a + bsin x |
|
|
+ c∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a + bsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
; |
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2 ln |
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tg |
2 |
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sin x (1 ± cos x) |
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2 (1 ± cos x) |
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dx |
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= |
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1 |
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+ |
1 |
ln |
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tg |
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π |
+ |
x |
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; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||
∫cos x (1 ± sin x) |
|
2 (1 ± cos x) |
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2 |
4 |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
= |
|
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1 |
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x |
± |
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π |
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; |
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ln |
tg |
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|||||||||||||||||||||||||
∫sin x ± cos x |
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2 |
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2 |
8 |
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dx |
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= |
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1 |
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|
ln |
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x + arccos |
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b |
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; |
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|
a2 + b2 |
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|||||||||||||||||||
∫acos x + bsin x |
|
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|
a2 |
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|
+ b2 |
|
tg |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
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|
|
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|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
d(x − ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a = ρcos ϕ, b = ρsin ϕ) ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(acos x + bsin x)n |
|
|
|
|
ρcos |
( |
x − ϕ |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
) |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
= ±ln |
|
1 ± tg |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + cos x ± sin x |
|
|
2 |
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dx |
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dt |
|
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b |
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|||||||||||
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|
= |
|
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|
t = x + arctg |
; |
|
|||||||||||||||||||
∫a + bcos x + csin x |
|
∫a + |
|
b2 |
|
|
|
+ c2 sint |
|
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c |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
= ∫ |
|
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|
|
|
|
d(x − ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
(b = ρcos ϕ, c = ρsin ϕ) ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a + bcos x + csin x)n |
|
|
a + ρcos |
( |
x − ϕ n |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
) |
|
|
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|
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|||||||||
∫ |
sin x dx |
= |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
sin x |
|
± cos x |
|
|
; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x ± cos x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
cos x dx |
= ± |
x |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
± cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x ± cos x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
b |
|
|
|
|
|
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|
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|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
(a > 0, b > 0); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫a2 cos2 x + b2 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
a |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
ln |
|
btg x + a |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
btg x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 cos2 x − b2 sin2 x |
|
|
|
2ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
sin xcos x dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
acos2 x + bsin2 x |
|
(a ≠ b). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
acos2 x + bsin2 x |
2 (b − a) |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы , |
|
|
|
|
|
с о д е р ж а щ и е т а н г е н с и к о т а н г е н с . |
|
http://vk.com/ege100ballov
56 |
|
|
|
|
|
|
|
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫tg x dx = −ln |
|
cos x |
|
; |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫tgn x dx = |
tgn−1 x |
|
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− |
|
∫tgn−2 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n . 2); |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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n −1 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ctg x dx = ln |
|
sin x |
|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ctgn x dx = − |
ctgn−1 x |
− |
∫ctgn−2 x dx |
(n . 2); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
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|
|
x |
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|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ln |
|
sin x ± cos x |
|
; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg x ±1 |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
= |
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
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|
|
(bln |
|
a + btg x |
|
|
+ bln |
|
cos x |
|
+ ax); |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a + btg x |
a2 |
+ b2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫tgtg xx dx±1 = x2 12 ln |
|
sin x ± cos x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
tg x dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(bx − aln |
|
acos x + bsin x |
|
); |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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a + btg x |
a2 + b2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
= |
|
x |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
4 sin 2x ; |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2 x |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 ≠ b2 ); |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
a |
|
arctg |
|
|
a |
|
tg x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 + b2 tg2 x |
a2 − b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a + btg x |
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
ln |
|
|
a − btg x |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 − b2 tg2 x |
|
|
a2 + b2 |
2a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
tg x dx |
= − |
cos2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
|
tg x dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln (cos2 x + asin2 x) |
(a2 ≠ 1); |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + a2 tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (a2 −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
= |
|
x |
|
|
± |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x ± cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ctg x ±1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ctg x dx |
= ± |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ctg x ±1 |
|
2 |
+ 2 ln |
|
sin x ± cos x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
ctg x dx |
= ∫ |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a + bctg x |
atg x + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
2 − 4 sin 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + ctg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 |
≠ b2 ); |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg − |
|
|
|
ctg x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ b ctg |
|
|
|
x |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
− b |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a − bctg x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
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x + |
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ln |
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; |
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a2 + b2 |
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∫a2 − b2 ctg2 x |
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2a |
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a + bctg x |
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