1.Числовые последовательности

Число a называют пределом последовательности {a }:

lim a = a , если для лю-

n

n→∞ n

{an}

называется возрастающей (убывающей), если an+1 > an

(an+1 < an) для всех n. Возрас-

тающие и убывающие последовательности называются монотонными.

1.2. Основные свойства пределов последовательностей.

Если {xn} и {yn} — две сходящиеся последовательности, то

lim (cx ) = c lim x

(c − число);

n→∞

n

n→∞

n

lim (x

± y ) = lim x

± lim y ;

n→∞

n

n

n→∞

n

n→∞ n

lim (x

y ) = lim x

lim y ;

n→∞

n

n

n→∞

n

n→∞ n

xn

lim x

lim

=

n→∞

n

при

lim y

≠ 0;

lim y

n→∞ y

n→∞ n

n

n→∞

n

lim xn

- lim yn

при

xn - yn.

n→∞

n→∞

Если члены

последовательностей

{xn},

{yn}, {zn}

удовлетворяют

неравенствам

xn - yn - zn

и

lim xn

= lim zn = a,

то

lim yn = a .

n→∞

n→∞

n→∞

Если члены последовательностей

{xn},

{yn}

удовлетворяют неравенству xn - yn и

lim xn = a,

lim yn = b,

то

a - b.

n→∞

n→∞

К р и т е р и й

К о ш и .

Для существования предела последовательности {xn}

необходимо и достаточно, чтобы для любого

ε > 0

существовало такое число

N0 = N0 (ε) ,

что

| xn – xn+p | < ε,

как только

n > N0

и

p > 0.

Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а .

Всякая монотонная и ограниченная после-

довательность имеет предел.