- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
http://vk.com/ege100ballov
77
IV. Ряды и произведения
1. Числовые ряды
1.1. Основные определения.
В числовом ряде
∞ |
|
a1 + a2 +…+ an +… = ∑an |
(1) |
n=1
числа an называются членами ряда, а числа
Sm = a1 + a2 + … + am (m = 1, 2, …)
частичными суммами.
Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел lim Sn = S. Число
n→∞
S называется суммой ряда. Если последовательность частичных сумм {Sn} не имеет конечно-
го предела, то ряд (1) называется расходящимся. Ряд с действительными членами, знаки которых зависят, в общем случае, от номера члена, называется знакопеременным.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||||
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд |
∑ |
|
an |
|
|
сходится. |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
Если ряд |
∑an |
|
сходится, а ряд |
∑ |
|
an |
|
расходится, то ряд |
∑an называется услов- |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
но сходящимся. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Действия с рядами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||
Если ряд |
∑an |
сходится (сходится абсолютно), то ряд ∑can |
также сходится (схо- |
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится абсолютно) и ∑can = c∑an . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
Если ряды |
∑an |
и ∑bn |
сходятся (сходятся абсолютно), то ряд |
∑(an + bn) также |
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|||||
сходится (сходится абсолютно) и |
∑(an + bn) = ∑an + |
∑bn . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|||||
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ∑an и |
∑bn |
— абсолютно сходящиеся ряды, то их произведение — абсолют- |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
∞ n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
но сходящийся ряд и |
∑an |
|
∑bn = ∑∑ambn−m . |
|
|
||||||||||||||
|
|
n=1 |
n=1 |
|
n=2 m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Необходимое условие сходимости ряда: lim an = 0 .
n→∞
http://vk.com/ege100ballov
78 |
IV.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
К р и т е р и й |
К о ш и . Для сходимости ряда ∑an необходимо и достаточно, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N = N(ε), что при n > N и p > 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Sn+p − Sn |
|
= |
∑ ai |
|
< ε. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i=n+1 |
|
|
Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и з н а к с р а в н е н и я . |
|
|
Если для ряда |
∑an |
|
существует такой ряд |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∑bn , что при n > N выполнено |
an - bn , то из сходимости ряда |
∑bn |
следует сходи- |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мость ряда ∑an . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и з н а к Д а л а м б е р а . |
|
Если |
an > 0 и |
lim |
an+1 |
|
= q, то при |
q < 1 |
ряд |
|||||||||
|
an |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑an сходится, при q > 1 |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
П р и з н а к К о ш и . |
Если an . 0 |
и |
lim n an = q , |
то при q < 1 |
ряд |
∑ |
an схо- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
дится, при q > 1 расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и з н а к Р а а б е . |
Если |
a |
n |
> 0 |
и lim |
|
an |
|
−1 |
= q , |
то при |
|
q > 1 |
ряд |
||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n→∞ an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
∑an сходится, при q < 1 расходится.
n=1 |
|
|
|
|
|
= λ + µ |
|
θn |
|
|
П р и з н а к Г а у с с а . |
Если an > 0 и |
an |
+ |
, где | θn | < c (c = const) |
||||||
an+1 |
n1+ε |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
и ε > 0, то при λ > 1 ряд |
∑an |
сходится, при λ < 1 расходится. Если λ = 1, то при µ > 1 |
||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд ∑an сходится, при µ - 1 |
расходится. |
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И н т е г р а л ь н ы й |
п р и з н а к |
К о ш и . |
Если |
f(x) — неотрицательная |
||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
убывающая функция при |
x . 1, |
то ряд ∑f(n) |
сходится или расходится одновременно с |
|||||||
|
+∞∫ f(x) dx . |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
1
http://vk.com/ege100ballov
1.6. НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ СУММЫ. |
79 |
1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов. |
|
∞ |
|
П р и з н а к Л е й б н и ц а . Знакопеременный ряд ∑(−1)n−1bn |
(bn . 0) схо- |
n=1 |
|
дится, если а) bn . bn+1, б) lim bn = 0 . |
|
n→∞ |
|
Для остатка ряда Rn = (–1)nbn+1 + (–1)n+1bn+2 + … справедлива оценка Rn =
= (–1)n θn bn+1 (0 - θn - 1).
∞ |
∞ |
П р и з н а к А б е л я . Ряд ∑an bn |
сходится, если а) ряд ∑an сходится; |
n=1 |
n=1 |
б) числа bn образуют монотонную ограниченную последовательность.
∞
П р и з н а к Д и р и х л е . Ряд ∑an bn сходится, если а) последовательность
n=1
{bn} монотонно стремится к 0; б) последовательность частичных сумм {Sm} ограничена.
1.5. Свойства рядов.
Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.
Т е о р е м а Р и м а н а . Члены каждого условно сходящегося ряда с действительными членами можно представить так, что: а) последовательность его частичных сумм будет сходиться к любому заданному числу; б) последовательность его частичных сумм будет неограниченно возрастать; в) последовательность его частичных сумм будет неограниченно убывать; г) последовательность его частичных сумм будет колебаться между двумя любыми заданными числами.
1.6. Некоторые конечные суммы.
|
|
1 + 2 + 3 + … + n = n (n +1) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
p + (p + 1) + (p + 2) + … + (p + n)= |
|
(n +1)(2p + n) |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1) ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 + 8 + 16 + … + 8 (n – 1) = (2n – 1)2; |
|
|
|
||||||||||
|
|
12 + 22 + 32 + … + n2 = |
n (n +1) (2n +1) |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
13 + 23 + 33 + … + n3 = |
n2 |
(n + |
1)2 |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 = |
|
|
n (4n2 −1) |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 + 33 + 53 + … + (2n – 1) 3 = n2 (2n2 – 1) ; |
|
|
||||||||||||
14 |
+ 24 |
+ 34 + … + n4 = |
n (n +1) (2n |
+1) (3n2 + 3n −1) |
; |
||||||||||
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/ege100ballov
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n +1 x sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x + sin 2x +…+ sin nx = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n +1 x sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x + cos 2x +…+ cos nx = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nsin |
2n +1 x sin x |
− sin2 nx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos x + 2 cos 2x +…+ ncos nx = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg x + |
|
1 tg x + |
1 tg x +… |
+ |
1 |
|
tg |
|
x |
= |
|
1 |
ctg |
|
x |
|
− 2 ctg 2x; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nsh |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− sh |
2 nx |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sh n + |
|
|
2 |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x + 2 ch 2x +…+ nch nx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sh |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.7. Некоторые числовые ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Bn |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
… |
(числа Бернулли) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
2n |
2 |
2n−1 |
2 |
2n |
|
3 |
2n |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
22n+2 (2n) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
En |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+… |
(числа Эйлера) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
2n+1 |
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
= |
1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+… = e ; |
|
|
|
∑(−1)n |
|
|
= 1 − |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+… = e |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n! |
1! |
|
2! |
3! |
|
|
|
n! |
1! |
|
|
2! |
3! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(−1)n−1 n |
= 1 − |
2 |
|
+ |
3 |
− 4 +… = ln 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
1 |
|
= 1 + |
|
1 |
|
|
+ 1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
+… = 2 ; |
|
|
|
|
∑(−1)n |
|
1 |
= 1 − |
1 |
|
+ |
1 |
− |
1 |
|
+… = |
2 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑ |
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 1 − |
|
|
+ |
|
|
|
− |
7 + 9 |
|
−… = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n +1 |
3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+… = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n (n +1) |
1 2 |
|
|
2 3 |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+… |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(2n −1) (2n |
+1) |
1 3 |
3 5 |
5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
+… = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n −1) (n +1) |
|
1 3 |
2 4 |
3 5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/ege100ballov
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
|
|
|
|
|
1.7. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. |
81 |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
1 |
+… = |
1 |
− π |
; |
|
|||||
(4n −1) (4n +1) |
|
|
3 5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+… = 1 ; |
|
|
|
|
|||||
n (n +1) (n + 2) |
|
1 2 3 |
|
2 3 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
= 1 + |
1 |
+ |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
+… = |
π2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n2 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑(−1)n−1 |
1 |
|
|
= 1 |
− |
|
|
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
+… = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
1 |
|
= 1 + |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
+… = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n |
|
−1) |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n−1 |
1 |
|
|
|
|
= 1 |
− |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
+ … = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n −1) |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
1 |
= 1 + |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+… = |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
4 |
|
|
4 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+… = 7π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∑(−1)n−1 |
1 |
|
|
= 1 |
− |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
1 |
|
= 1 + |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+… = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n |
|
−1) |
4 |
|
|
4 |
|
4 |
96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
= 1 + |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+… = π2k22k−1 B ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑n=1 n2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22k |
|
|
|
|
|
|
|
|
32k |
|
|
|
|
|
|
42k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k) ! |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
−1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
2k−1 |
|
|
|||||||
∑ |
(−1)n−1 |
1 |
|
= 1 − |
1 |
+ |
1 |
− |
|
1 |
|
|
+… = |
π |
|
2 |
|
|
B ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22k |
|
|
|
|
|
32k |
|
|
|
42k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k) ! |
|
|
|
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2k (22k −1) |
|
|
|
|
||||||||
∑ |
|
|
1 |
|
|
|
= 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
+ |
1 |
+… = |
Bk ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n |
|
−1) |
2k |
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
2k |
2k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (2k) ! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π2k+1 |
|||||||||||||||||||
∑(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
+ |
… = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ek ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n −1)2k+1 |
32k+1 |
|
52k+1 |
72k+1 |
22k+2 (2k) ! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 + ∑ |
|
1 |
|
= ch1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
1 |
= sh1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(2n) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1) ! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 + ∑ |
= cos1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
= sin1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1) |
! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|