http://vk.com/ege100ballov
90
V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Комплексные числа
Алгебраическая (декартова) форма записи: z = x + iy (i2 = –1);
Re z = x — действительная часть комплексного числа,
Im z = y — мнимая часть комплексного числа.
Комплексное число z = x – iy — комплексно сопряженное с числом z. Арифметические действия:
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2), z1 – z2 = (x1 – x2) + i (y1 – y2), z1 z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y2 + x2y1),
z1 |
= |
x1x2 + y1y2 |
+ i |
x2y1 − x1y2 |
(z ≠ 0). |
||
z2 |
|
|
|||||
|
x2 |
+ y2 |
|
x2 |
+ y2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
Тригонометрическая форма записи*): z = r (cos ϕ + i sin ϕ).
Модуль комплексного числа: |
|
z |
|
= r = x2 + y2 . |
|
|
|||
Аргумент комплексного числа: |
|
|
|
Arg z = arg z + 2πk (k = 0, 1, 2, …), arg z = ϕ — |
главное значение аргумента. |
|
|
|
|
Показательная форма записи: |
z = r eiϕ. |
|||
Ф о р м у л а Э й л е р а : |
|
|
|
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ. |
Произведение и частное комплексных чисел в показательной и тригонометрической форме за-
писи: z1 z2 = r1r2 ei(ϕ1 + ϕ2) ;
|
|
|
|
|
z1 |
= |
r1 |
ei(ϕ1−ϕ2) |
= |
r1 |
cos (ϕ − ϕ |
) + isin (ϕ − ϕ |
) |
(z ≠ 0). |
||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
r |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф о р м у л ы М у а в р а : |
z |
n |
= r |
n inϕ |
= |
r (cos n |
ϕ + i sin n ϕ), |
|||||||||||||||||
|
e |
|
||||||||||||||||||||||
n |
z |
= |
n |
|
|
|
ϕ + 2πk |
= |
n |
r |
|
|
ϕ + 2πk |
+ isin |
ϕ + 2πk |
(k = 0,1,2,…, n −1). |
||||||||
|
|
r exp i |
|
n |
|
|
cos |
|
n |
|
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Степень с произвольным рациональным показателем: zm
n = (n z )m .
*) Определена для комплексного числа z, отличного от нуля.