- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
http://vk.com/ege100ballov
4
I.ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. АЛГЕБРА
1.Действительные числа
1.1.Каноническое разложение натурального числа:
n = p1k1 p2k2 … psks
где p1, …, ps — различные между собой простые, k1, …, ks — натуральные числа.
1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное или нуль.
Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, делящееся на 4.
Число делится на 8, если три последние его цифры — нули или образуют число, делящееся на 8.
Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 5, если оно оканчивается либо на нуль, либо на 5.
Число делится на 25, если его последние две цифры — нули либо образуют число, делящееся на 25.
Число делится на 11, если у него сумма цифр, занимающих четные места, либо равна сумме цифр, занимающих нечетные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.
Формула связи наибольшего общего делителя (m, n) двух натуральных чисел т и n и их наименьшего общего кратного {m, n}:
mn = (m, n) {m, n}.
1.3.Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
|
|
|
a |
|
|
|
a, |
если |
a . 0, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
−a, |
если |
a < 0. |
|
|
|||||||||||||||
Если a и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
— два действительных числа, то |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
| a b | - | a | | b |; |
|
|
a |
|
= |
|
|
|
|
a |
|
|
; |
| | a | – | b | | < | a – b |; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
| a + b | - | a | |
+ | |
b | |
|
(неравенство треугольника). |
|
||||||||||||||||||
1.4. Дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила действий с рациональными числами (дробями): |
|
|
||||||||||||||||||||||
m + p = |
mq + np ; |
m − p |
= |
|
mq − np ; |
m p = m p ; |
m : p = |
m q . |
||||||||||||||||
n q |
nq |
n q |
|
|
|
|
|
|
nq |
|
|
|
|
|
n q n q |
n q |
n p |
|||||||
Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
0,n1n2…nk = |
n1n2 …nk |
, |
|
|
|
n1, n2, …, nk — цифры. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формула обращения бесконечной периодической дроби в рациональную дробь: |
||||||||||||||||||||||||
0,n1n2…nk (nk+1 nk+2… nk+p) = |
|
|
n1n2 …nknk+1nk+2 …nk+p − n1n2 …nk |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10k (10p −1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (nk+1 nk+2… nk+p) — период дроби.
http://vk.com/ege100ballov
|
|
|
|
|
|
|
1.6. СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||
1.5. Пропорции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из пропорции |
a |
= |
c |
|
|
|
следуют равенства: |
a d = b c; |
|
a ± b |
= |
c ± d |
|
; |
||||||||||||||||
b |
d |
|
|
|
|
b |
|
d |
|
|||||||||||||||||||||
a − b |
= c − d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
; |
|
ma + nb |
= |
mc + nd |
(производные пропорции), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a + b |
c + d |
|
|
pa + qb |
|
|
|
pc + qd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где m, n, p, q — произвольные числа и p2 + q2 ≠ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.6. Степени и логарифмы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Степени с действительным показателем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = 1 (a ≠ 0); |
|
|
ax ay = ax+y ; |
ay = ax−y ; |
|
|
(ax)y = axy ; |
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
b |
x |
|
|
a |
|
x |
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
; |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(a b) = a |
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Логарифмы (a, M1, |
M2 |
|
> 0, |
a ≠1): |
log a a = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log a (M1M2) = log a |
M1 + log a |
M2; |
|
|
|
= loga M1 − loga M2 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
loga M |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
loga (bc )= c loga b; loga c = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
log |
c |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
b |
; |
|
loga c = |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
log a |
|
log a |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||