Интегрируя по частям при любом фиксированном о: ? О, найдем
(Х)
(Х)
-ахsinx d
[Ф(а,х)](Х) +/Ф(а'Х)dХ ~
/ е --
х
х
х R
х2
R
R
(Х)
~
IФ(а, R)I + /
Ф(а, х) dx.
~
R
х2
R
Из этого неравенства инеравенств (9.26) получаем следующую
оценку:
(Х)
/ е
-ахsinx d
(9.27)
--
х
х
R
Из этой оценки вытекает равномерная сходимость интеграла
(9.25) по о: на полупрямой О ~ о: < 00. Действительно, пусть Е
произвольное положительное число. Выберем по этому Е число А > О так, чтобы выполнялось неравенство
-4< Е.
А
Ясно, что тогда при R ?
А, в силу оценки (9.27), для всех о: ? о
справедливо соотношение
(Х)
/
-ахsinx d
< Е,
е
-- х
х
R
означающее равномерную сходимость по о: на полупрямой
О~ о: < 00 исследуемого интеграла (9.25).
20.Используем только что полученные выводы для вычис-
ления интеграла 1)
(Х)
1 = / si;x dx.
(9.28)
О
Отметим, во-первых, что указанный интеграл представляет собой
предельное значение при о: ----7 О +О функции 1 (0:), определенной соотношением (9.25). Действительно, подынтегральная функ ция в интеграле (9.25) непрерывна при о: ? о их? о (при х = О эта функция считается равной единице), а интеграл (9.25) рав
номерно сходится по о: на полупрямой О ~ о: < 00. Поэтому,
1) СХОДИМОСТЬ рассматриваемого интеграла была установлена в п. 2 § 1
гл. 3.
10*
292 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9
согласно теореме 9.9, интеграл (9.25) представляет собой непре
рывную функцию о: на полупрямой о: ~ о. Отсюда следует, что
11.т 1 ()о:
00
= 1 = J--SШХdx.
(9.29)
00---+0+0
х
О
Мы получим для функции 1 (о:) специальное представление, с помощью которого будет найдено значение предела (9.29). Это представление получается из выражения для производной l'(0:).
Поэтому сначала мы должны убедиться в возможности диф
ференцирования интеграла (9.25) по параметру о: под знаком
интеграла. Для этой цели проверим выполнение условий теоре
мы 9.10 применительно к интегралу (9.25). Очевидны непрерыв
ность подынтегральной функции и ее частной производной по
параметру о: при о: ~ О и х ~ о. Обратимся теперь к выяснению
вопроса о равномерной сходимости по о: интеграла
00
- J е-ООХsinx dx
(9.30)
о
от частной производной подынтегральной функции в (9.25). Фик
сируем любое д. > о. Так как при всех о: ~ Д. справедливо нера-
00
венство lе-ООХsinxl ~ е-.6.х и так как интеграл J е-.6.х dx сходит-
о
ся, то по признаку Вейерштрасса (теорема 9.7) интеграл (9.30)
сходится равномерно по о: при о: ~ д.. Поскольку Д. - любое положительное число, мы можем дифференцировать интеграл
(9.25) под знаком интеграла по параметру о: при любом о: > о.
Итак, при о: > О
00
1'(0:) = - Jе-ООХsinx dx = __1_..
1
+ 002
О
Интегрируя левую и правую части последних соотношений, по лучим при о: > О
1(0:) = -J~ = -агсtgо:+С.
(9.31)
1 + 002
Найдем постоянную С. Так как I Si: х I ~ 1 при х ~ о, то из
выражения (9.25) при о: > О получим неравенство
11(0:)1 ~ J00 е-ООХdx = ;,
о
из которого вытекает, что
lim 11(о:) 1= о,
00---+00
§ 4
ПРИМЕНЕНИЕ К НЕСОБСТВЕННЫМ ИНТЕГРАЛАМ
293
и стало быть,
lim 1(00) = о.
(9.32)
й---+оо
Так как
lim arctg а = 7г/2, то из (9.31) и (9.32) находим, что С =
й---+оо
=7Г/2. Итак, при а > О функция 1(00) может быть представлена
вследующей форме:
1(00) = ~ - arctg а.
2
Отсюда и из формулы (9.29) получаем значение интеграла (9.28):
00
Jsinx dx =
~.
(9.33)
х
2
О
3 а м е ч а н и е. Рассмотрим интеграл
00
К(а) = Jsinxnx dx.
(9.34)
о
Найдем значение этого интеграла для различных значений а.
При а> О в интеграле (9.34) произведем замену переменных,
полагая ах = у. Тогда
00
00
К(а) = JsinCYx dx =
Jsiny dy = ~.
х
у
2
О
О
При а < О произведем замену переменных,
полагая ах
-у
(у> о). Тогда
00
К(а) =
-
Jsiny dy =
-~.
у
2
При а = О интеграл (9.34),
О
очевидно, равен нулю. Итак,
К(а)
00
{
7г/2
при
а > о,
= JsinxCYx
dx =
О
при
а = о,
о
-7Г/2
при
00<0.
Рассмотренный интеграл обычно называется разрыl'ныым -М'НО
;)fCumеле-м Дuрuхле.
С помощью разрывного множителя Дирихле получаем сле дующее аналитическое представление известной функции sgn а,
именуемой обычно термином «знак а» 1):
00
sgn(a) = ~ JsinCYx dx.
7r
х
О
1) Это наименование связано с тем, что значения sgn СУ при СУ > О, СУ = О
и СУ < О равны соответственно 1, О, -1.
294
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
ГЛ.9
§4. Интегралы Эйлера
Вэтом параграфе мы познакомимся с некоторыми свойст вами важных неэлементарных функций, называемых интегра
лами Эйлера 1).
Эйлеровым интегралом первого рода или «бета-функцией»
называют интеграл
1
В(р, q) = Jx P- 1 (1 - x)q-l dx.
(9.35)
О
В этом интеграле р и q считаются параметрами. Если эти
параметры удовлетворяют условиям р < 1 и q < 1,
то интег
рал (9.35) будет несобственным интегралом, зависящим от па
раметров р и q, причем особыми точками этого интеграла будут
точки х = О и х = 1.
Эйлеровым интегралом второго рода или «гамма-функцией»
принято называть несобственный интеграл
(х)
Г(р) = Je-xxp- 1 dx.
(9.36)
о
Отметим, что в интеграле (9.36) имеются два типа особенностей:
1) интегрирование по полупрямой О ~ х < 00; 2) при р < 1
точка х = О является особой точкой подынтегральной функции
(подынтегральная функция обращается в бесконечность).
В процессе рассуждений мы будем учитывать указанные вы
ше особенности функций В(р, q) и Г(р). Ниже мы убедимся, что интегралы (9.35) и (9.36) сходятся для значений р > О и q > о.
1. Область сходимости интегралов Эйлера. Докажем,
что функция В(р, q) определена для всех положительных значе ний параметров р и q, а функция Г(р) для всех положительных
значений р.
Займемся сначала функцией В(р, q). При р ? 1 и q ? 1 подынтегральная функция в соотношении (9.35) непрерывна, и поэтому интеграл в правой части (9.35) является собственным. Поэтому функция В(р, q) определена для всех отмеченных зна
чений р и q. Обратимся теперь к случаю, когда выполняются
одно или оба из следующих неравенств:
о < Р < 1, О < q < 1.
(9.37)
В этом случае одна или обе из точек х = О и х = 1 являются осо бенными точками подынтегральной функции. Имея это в виду,
1) Подробные сведения об интегралах Эйлера читатель может найти в
книге Э. г. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона «Курс современного анализа», т. 11. - М.: Физматгиз, 1963.
§ 4
ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
295
представим В(р, q) в следующей форме:
1/2
1
В(р, q) = J x P- 1(1 -
x)q-1 dx + J x P- 1(1 -
x)q-1 dx =
о
1/2
= 11 (р, q) + 12(р, q).
Очевидно, каждый из интегралов 11 (р, q) и 12 (р, q) имеет лишь
одну особую точку.
1/2
Для интеграла 11 (р, q) =
J x P- 1(1 - x)q-1 dx особой точкой
о
будет точка х = О. Замечая,
что на сегменте [О, 1/2] функция
(1-x)q-1непрерывна и поэтому ограничена некоторой констан той с, легко убедиться, что функция схр-1будет мажорантой
для подынтегральной функции интеграла 11 (р, q). Отсюда сле
дует, что интеграл 11 (р, q) сходится при О < Р < 1 и любом q.
Рассуждая аналогично, легко убедиться, что интеграл 12 (р, q)
сходится при О < q < 1 и любом р.
Итак, мы убедились, что в случае, когда выполняются нера
венства р > О и q > О интеграл (9.35) сходится, т. е. фу1-t'Х:'Цuл
В(р, q) оnределе1-tа длл всех nоло;Jfcumелъ1-tыlx 31-tа'че1-tuu р и q.
Перейдем теперь к функции Г(р). Мы уже отмечали, что
интеграл (9.36) имеет два типа особенностей - интегрирование
по полупрямой и особую точку х = О. Чтобы разделить эти особенности, разобьем область интегрирования на две части так, чтобы на каждой части наблюдалась лишь одна из отмеченных
особенностей. Например, можно представить Г(р) следующим
образом:
1
00
Г(р) = Jе-ххр-1dx + J е-ххр-1dx = 11 (р) + 12(р).
О
1
Так как le- x xp - 1 1~ хр-1при Х > О, то, согласно частному при
знаку сравнения, интеграл 11 (р) сходится при р > О. Интеграл 12 (р) также сходится при р > О. Чтобы убедиться в этом, можно
воспользоваться частным признаком сравнения в предельной
форме: lim e-ХхТ= О при любом r. Итак, мы доказали, что
х---++оо
областью определения функции Г(р) является полупрямая р > О.
2. Непрерывность интегралов Эйлера. Докажем, что
функция В(р, q) непрерывна в квадранте р > О, q > О, а функ ция Г(р) непрерывна на полупрямой р > О. Займемся сначала функцией В(р, q). Для доказательства непрерывности В(р, q) в
квадранте р > О, q > О, очевидно, достаточно убедиться в равно
мерной сходимости интеграла (9.35) относительно параметров р
и q при р ? ро > О и q ? qo > О для любых фиксированных поло-
296 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9
жительных значений Ро и qo. Так как Ро -1~ р-1, qo -1~ q-1,
то при О < х < 1 справедливы неравенства
хр- 1 (1 - x)q-1~ хро-1(1 _ x)qO-1.
1
Отсюда и из сходимости интеграла JхРО-1(1 - х)qO -1dx вытека-
О
ет в силу признака Вейерштрасса равномерная сходимость ин
теграла (9.35) для указанных значений р и q. Таким образом, непрерывность В (р, q) при р > о и q > о доказана.
Для доказательства непрерывности Г(р) на полупрямой р > О,
очевидно, достаточно установить равномерную сходимость интег
рала (9.36) относительно параметра р при О < ро ~ Р ~ Р1
для любых фиксированных значений Ро и Р1, удовлетворяющих условию О < Ро < Р1· Так как при указанных значениях р, Ро и Р1
и при Х > О справедливо неравенство
е-ххр-1 ~ е-х[хро-1 + x P1 - 1],
то из сходимости интеграла
00
J е-х[хро -1+ x P1 - 1 ] dx
о
следует в силу признака Вейерштрасса равномерная сходимость
интеграла (9.36) для указанных значений р. Таким образом, не прерывность Г(р) при р > о доказана.
3. Некоторые свойства функции Г(р). В этом пункте мы
докажем существование производной любого порядка у функ
ции Г(р). Кроме того, для этой функции будет получена фор
мула, называемая ФОРМУЛОЙ nрuведе1-tu-я.
Дифференцируя Г(р) по параметру под знаком интеграла,
получим следующий интеграл:
00
Jхр-1 е-Х lnx dx,
(9.38)
о
который сходится равномерно по параметру р на любом сег
менте О < Ро ~ Р ~ Р1· В самом деле, абсолютная величина
подынтегральной функции в интеграле (9.38) удовлетворяет на
полупрямой О < х < (Х) неравенству
Ixp - 1e- x lnxl < e-Хllпхl(хРО-1 +xP1 - 1 ).
Отсюда из сходимости интеграла
00
J e-Хllпхl(хРО-1+xP1 -1)dх
о
следует, согласно признаку Вейерштрасса, равномерная сходи
мость интеграла (9.38). Это обстоятельство и непрерывность
§ 4
ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
297
подынтегральной функции в интеграле (9.38) 1) при О < х < 00,
о < Р < 00 позволяет сделать вывод о возможности диффе
ренцирования Г(р) по параметру под знаком интеграла. Итак, nроuзводна-я Г'(р) существует u равна выра;женшо (9.38).
Рассуждая аналогично, легко убедиться, что функция Г(р)
имеет производную любого порядка и эта производная может быть найдена посредством дифференцирования по параметру р
под знаком интеграла в выражении (9.36) для Г(р).
Перейдем к выводу формулы nрuведенu-я для функции Г(р).
Применяя формулу интегрирования по частям для функ
ции Г(р + 1)
при р > О, получим
Г(р + 1) =
(х)
(х)
J xPe-Хdx = [-хРе-Х]о +р J хр-1е-Хdx = рГ(р).
о
о
Итак, для любого р > о справедлива формула
Г(р + 1) = рГ(р).
(9.39)
Последовательно применяя формулу (9.39) для любого р > n-1
и любого натурального n, получим
Г(р + 1) = р(р - 1) ... (р - n + l)Г(р - n + 1). (9.40)
Соотношение (9.40) называется формулой nрuведенu-я для функ ции Г(р). С помощью формулы (9.40) гамма-функция для значе
ний аргумента, больших единицы, <<ПриводитсЯ» к гамма-функ
ции для значений аргумента, заключенных между нулем и еди-
(х)
ницей. Так как Г(l) = Jе-Хdx =
1, то, полагая в (9.40) р = n,
О
получим
Г(n + 1) = n(n -
1) ... 2·1= n!
Эта формула ниже будет использована нами для вывода так
называемой формулы Стирлинга 2), дающей асимптотическое
представление для n!.
Полученные сведения о функции Г(р) позволяют дать качес
твенную характеристику графика этой функции. Мы приведем
геометрическое исследование графика Г(р), следуя в основном
схеме, изложенной в § 6 гл. 9 вып. 1 этого курса.
Мы установили, что областью задания rlp) служит полупря мая О < Р < 00. На этой полупрямой Г(р) непрерывна и диффе
ренцируема любое число раз, причем любая производная может
быть найдена дифференцированием выражения (9.36) для Г(р)
1) Эта функция представляет собой частную производную по параметру р
подынтегральной функции в выражении (9.36) для Г(р).
2) Стирлинг-шотландский математик (1692-1770).
298
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
ГЛ.9
по параметр,у р под знаком интеграла. В частности, вторая про
изводная Г ' (р) равна
00
Г"(р) = J xP-1(lпх)2е-х dx.
о
Так как г"(р) > О, то первая производная г' (р) может иметь
только один нуль. Поскольку Г(l) = Г(2) 1), то, согласно теоре
ме Ролля, этот нуль производной г'(р) существует и расположен
на интервале (1, 2). Поскольку Г"(р) > О, то в точке, где Г'(р)
обращается в нуль, функция Г(р) имеет минимум. Отметим так же, что график Г(р) обращен выпуклостью вниз. График функ ции Г(р) имеет вертикальную асимптоту в точке р = о. в самом
деле, так как Г(1) =
1 и Г(р)
= Г(р+ 1) , то из непрерывности
Г(р)
р
в точке 1 следует,
что Г(р)
-++00 при р -+0+0. Очевидно,
Г(р) -++00 при р
-++00.
Отметим без доказательства,
что
график функции Г(р) не имеет наклонных асимптот.
4. Некоторые свойства функции В(р, q). В этом пунк те мы установим свойство симметрии функции В(р, q) и форму лу приведения для этой функции. Сделаем в интеграле (9.35)
замену переменной, полагая х = 1 - t. Проделав необходимые вычисления, мы убедимся в справедливости равенства
В(р, q) = B(q, р),
(9.41)
которое выражает свойство си.м..м.етрии фу'Н.'Х:'Ции В(р, q). Установим для функции В(р, q) формулы приведения. Для
этой цели обратимся к функции В(р, q + 1), причем будем счи
тать р и q положительными. Применяя интегрирование по час
тям и формулу хр = x p -
1 -
x P- 1 (1
- х), получим
В(р, q + 1) =
1
Jx P- 1 (1 -
x)q dx =
о
= [~(l-x)q]~+;/1
xP(1-х)q-1dх=
о
1
=
; / {xP- 1 (1 -
x)q-l -
x P- 1 (1 -
x)q} dx =
о
= я. В(р, q) - я. В(р, q + 1).
р
р
1) Это следует из соотношения (9.39).
§ 4
ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
299
Из этих соотношений получаем следующую формулу:
В(р, q + 1) = - q - В(р, q).
(9.42)
p+q
Совершенно аналогично при р > о и q > О, получаем соотно
шение
В(р + 1, q) = -р- В(р, q).
(9.43)
p+q
Формулы (9.42) и (9.43) называются формулами приведения для функции В(р, q). Последовательное применение этих формул сводит вычисление В(р, q) для произвольных положительных
значений аргументов к вычислению этой функции для значений аргументов из полуоткрытого квадрата О < Р ~ 1, О < q ~ 1.
5. Связь между эйлеровыми интегралами. Сделаем в
интеграле (9.35) замену переменной, полагая х =
_1_. В резуль-
тате получим для В(р, q) следующее выражение:
1
+ t
00
В(р, q) = J(1 +tqt)p+q-l
dt.
(9.44)
о
Используя формулу (9.41), получим наряду с (9.44) следующее выражение для В(р, q)
00
В(р, q) = J(1 +tpt)p+q-l
dt.
(9.45)
о
Обратимся теперь к выражению (9.36) для Г(р). С помощью
подстановки х = ty, t> О, преобразуем это выражение к виду
00
Г(р) =
Je-tyyp-l dy.
(9.46)
tP
о
Заменив в этой формуле р на р + q и t на 1 + t,
получим
00
Г(р + q) =
Je-(1+t)уур+Q-l dy.
(1 + t)p+q
о
Умножим обе части последнего равенства на tp - 1 и проинтегри
руем по t от О до 00. Очевидно, согласно соотношению (9.45),
получим формулу
00
00
Г(р + q) В(р, q) = J dt J yP+Q-1tр-1е-(1+t)у dy.
(9.47)
оо
300 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ ГЛ.9
Если в правой части соотношения (9.47) можно поменять ме стами порядки интегрирования по t и у, то, учитывая (9.46),
получим
(х) (х)
Г(р + q) В(р, q) = J yp+q-le -ydy JtP-1е-tуdt =
о
о
(х)
(х)
= Jyp+q-l e - y Г;;) dy = Г(р) Jyq-l e - y dy = r(p)r(q),
о
о
т. е. будет доказана справедливость формулы
В(р, q) =
Г(р) . r(q) .
(9.48)
Г(р + q)
Убедимся теперь в возможности изменения порядка интегриро
вания в правой части (9.47). Для этого нужно проверить выпол
нение условий теоремы 9.12. Пусть сначала р > 1 и q > 1. Тогда, очевидно, выполнены условия теоремы 9.12. В самом деле:
1)
функция f(t,
у) = tp- 1 yp+q-le -(1+t)yнеотрицательна и
непрерывна в квадранте t ~ о, У ~ о.
+ )tp-1
2)
(х)
(х)
Г(
р
Интеграл Jf(t
у) dy = t p- 1Jyp+Q-lе-(1+t)у dy =
q
о 'о
(l+t)p+q
есть непрерывная функция от t при t ~ о.
(х)
(х)
3)
Интеграл Jf(t,
у) dt = yp+Q-lе-уJtP-1е-tуdt =
Г(р)уQ-lе-у
оо
есть непрерывная функция от у при у ~ о.
(х) (х)
4) Сходимость интеграла J dy J f(t, у) dt установлена непо-
оо
средственным вычислением.
Итак, при р > 1 и q > 1 формула (9.48) справедлива. Если
же выполнены лишь условия р > о и q > о, то по доказанному
справедлива формула
В(
р
+ 1
+ 1) = Г(р + l)r(q + 1) .
, q
Г(р + q + 2)
Из этой формулы с помощью формул приведения для функций
В(р, q) и Г(р) получим опять формулу (9.48).
6. Вычисление определенных интегралов с помощью
эйлеровых интегралов. Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача счи
тается решенной, если она приводится к вычислению эйлеровых
интегралов.
Приведем примеры вычисления обычных инесобственных
интегралов путем сведения их к эйлеровым интегралам.
