Акимов - Решение задач

Глава 6

РЫНОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ

139

Ррын. =MR, аМС* =TC(Q)=2Q- 1.

Следовательно, 2Q- 1=4 Q =2,5.

Проверка. Выше говорилось, что условие MR=МС не является достаточным, так как в минимуме прибыли выполняется такое же равенство. Кроме того, необходимо проверять, работает лифирма на рынке (в случае, если при оптимальном выпуске фирма получает убытки). В данном случае найденное решение является точной мак­

симума прибыли:

TR=Р • Q=2,5 · 4=10, TC(Q=2,5)=2,52- 2,5 + 5=8,75

n=TRте=10- 8,75=1,25. Ответ: Q=2,5.

4. Р=MR=7'МС=ТС'(Q)=3Q2-* 21Q +*37' MR=МС 3Q221Q + 37=7 Q1=2, Q2=5.

Из двух положительных корней выбираем тот, который соответ­

ствует восходящему участку кривойМС (минимумМС достигается при Q= 3,5), т. е. Q = 5. Как и в задаче .М 3, делаем проверку,

поскольку условие максимизации прибыли MR=МС является не­ обходимым, но не достаточным. Для этого рассчитаем общую

выручку фирмы и сопоставим с ее переменными издержками.

TR=Р • Q=7 • 5=35, VC=125262,5 + 185=47,5 TR < VC

фирма покидает рынок.

Ответ: фирма покидает рынок.

5.В условии задачи указано, что отрасль находится в долго­

срочном равновесии, следовательно,

FC=О ТС=VC, АС=AVC, VC(O)=ТС(О)=О;

В дальнейшем, при увеличении объема выпуска, значения АТС будут снижаться. Цена на совершенно конкурентном рынке Р= 8, поэтому при объеме выпуска большем чем 100, фирма будет полу­ чать положительную прибыль.

Ответ: Q=100.

8. В долгосрочном периоде совершенно конкурентная фирма работает при условии, что цена не ниже min АС, т. е. при условии получения неотрицательной экономической прибыли. Соответ­ ственно кривая предложения совершенно конкурентной фирмы в долгосрочном периоде совпадает с возрастающей ветвью кривой МС, расположенной не ниже min АС. Поэтому уравнение функции предложения данной фирмы находим из условия Р= МС, а для на­

хождения области определения рассчитываем точку минимума АС:

МС= TC(Q>= 3Q248Q + 150,

те

АС= Q =Q2- 24Q + 150.

ACmin: AC(Q>=О AC(Q> = 2Q- 24=О Q=12 ACmin = 6.

Таким образом, обратная функция предложения имеет вид Р8 = 3Q248Q + 150 при Q 12. Прямая функция предложения co-

Оптимальное значение Q находим из условия:

р=мс 120 = Q28Q + 15

корень Q <Оне имеет экономического смысла, Q =15опти­ мальный выпуск фирмы.

1t = (6Q + 5) Q- 3Q25Q- 5 = 70 ==>

==> Q = 5 ==> р = мс = 6Q + 5 = 6 о5 + 5 = 35.

Ответ: Р = 35.

14.7tmax = TRТС = PQ*- VCFC = PQ*- AVCQ Q*- FC.

Оптимальный выпуск совершенно конкурентной*фирмы определяется условием

MR = Р = МС ==> Q* = 16; Р = 20, Q* = 16 ==> TR = 20 о16 = 320;

при Q* = 16 значение AVCQ* составляет 10 ==>

VCQ* = AVCQ* Q* = 16 о10 = 160.

Чтобы рассчитать оптимальное значение прибыли, необходи­ мо также определить значение постоянных издержек фирмы: FC = AFC оQ =(АСAVC) Q. На графике значениеАFС можно опре­ делить при Q = 20:

По определению, постоянные издержки не зависят от объема выпус­ ка, следовательно, 1tmax = 20 о1610 о1640 = 120.

Ответ: 7tmax = 120.

15. В краткосрочном периоде совершенно конкурентная фирма покидает отрасль при условии, что рыночная цена Ррын. < AVCmin" Как следует из условия, 40 < AVCmin,;;;;60.

Рассчитаем минимальное значение AVC.

vc

AVC = Q, VC = ТСFC, FC = TC<Q o> = 1000;

VC = Q3XQ2 + 100Q ==> AVC = Q2XQ + 100. AVCmin: AVC(Q> = О; AVC(Q) = 2Q- Х = О ==> Q = 0,5Х ==>

==> AVCmin = 100- 0,25Х2 ==> 40 < 100- 0, 25 Х2,;;;;60 ==> ==> 12,65 ,;;;; х 5,< 149.

Ответ: 12,65 < Х < 15,49.

16. Кривая предложения одной совершенно конкурентной фир­ мы в краткосрочном периоде совпадает с возрастающей ветвью кри­ вой МС, расположенной выше минимума AVC. Поэтому уравнение функции предложения данной фирмы находим из условия МС = Р, а для нахождения области определения рассчитываем точку мини­ мумаАVС.

МС = VC(Q>; VC = AVC оQ = Q3- 20Q2 + 140Q; min AVC: AVC(Q> = О; AVC(Q> = 2Q - 20 = О;

Q = 10; min AVC( Q = 10) = 40;

мс = 3Q2- 40Q + 140;

Р8= 3Q2- 40Q + 140 при Q 10, Р 40);

Ь) При Р = 35 фирма не работает на рынке (кривая предложе­ ния фирмы определена при Р 40), следовательно, значение элас­ тичности рассчитать невозможно.

Ответы: а) Е;= 0,207; Ь) не существует, поскольку кривая пред­ ложения начинается с уровня цены Р = 40.

17. а) МСА = TC(QA>=4 + 0,2QA. Для любого Q О, МСА AVCA,

следовательно, кривая предложения одной фирмы типа А:

Р8= 4 + 0,2 QA при QA О, или Ql=-20 + 5Р при Р 4.

МСв = = 4 + 0,5Qв =>кривая предложения одной фирмы

типа В:

Р8= 4 + 0,5 Qв при Qв О, или Q =-8 + 2Р при Р 4.

Для фирм типа А суммарный объем при каждом уровне цены увеличивается соответственно в 200 раз:

Q8A = 200 Ql=-4000 + 1000Р;

для фирм типа В:

QSB = 100 Q =-800 + 200Р.

Так как область допустимых значений у фирм по уровню Р оди­ наковая, то суммарная кривая предложения на рынке:

Qs= QSA + QSB =-4800 + 1200Р при Р 4.

Ь) Равновесие на рынке находим из условия Qd = Qs:

2200200Р =-4800 + 1200Р =>РЕ= 5; QE = 1200.

с) QA8 =-20 + 5Р=5; Q =-8 + 2Р= 2.

Ответы: а) Q8 =-4800 + 1200Р при Р 4; Ь) РЕ =5, QE = 1200; с) QA=5, QB=2.

18. Предложение одной совершенно конкурентной фирмы совпадает с восходящей ветвью кривой МС, расположенной выше min AVC.

МС;= (TC)(Q>= Х + 4Q;. При любом положительном Q;:

МС; AVCi' следовательно, Psi= Х + 4Q;=>Qsi= -0,25Х + 0,25Р.

Для получения рыночной кривой предложения суммируем объе-

мы предложения отдельных фирм при каждом возможном уровне цены=>Qs= NQsi= N (-0,25Х + 0,25Р), где N- число фирм в отрас­

ли. По условию задачи

Q8= -60 + 15Р=>N (-0,25Х + 0,25Р)= -60 + 15Р=>

0,25Р • N= 15Р, -0,25Х · N= -60=>N= 60, Х= 4; Qd= Q8=>400 - 10Р= -60 + 15Р =>РЕ= 18,4; QE= 216.

Найдем выпуск одной фирмы Р= MR= МС;:

Qsi= -0,25Х + 0,25Р= -1 + 0,25Р=>при Р= 18,4, Qi= -1 + 4,6= 3,6.

тti= PQ; - TC(Qi)= 18,4 • 3,6 - (10 + 4 • 3,6 + 2 • 3,62)= 15,92.

Ответ: Х= 4; Qi= 3,6; ni= 15,92; N= 60.

19.а) MCi= (TCi)(Q>= (ACi • Qi)Q= (0,1Q/ + Qi + 20)Q=

=0,2Qi + 1=>Qsi= -5 + 5Р.

= 57,5. (12,5 - (о,1· 57,5 + 1 + )) = 310,625.

57,5

Ответы: а) Q8= -500 + 500Р; Ь) РЕ= 12,5; QE= 5750; с) Qi= 57,5

и 'Тti= 310,625.

20. Q= 2Р =>Р8 = 0,5Q. Поскольку кривая предложения конку­ рентной фирмы совпадает с восходящим участком кривой, то урав­

нение кривой предельных издержек имеет вид: МС = 0,5Q.

TC(Q)= fMC(Q)dQ = 0,25Q2, FC= О, так как в условии задачи

рассматривается долгосрочный период.

те

АС= Q = 0,25Q. Полученная кривая АС является возрастаю-

щей функцией, а при постоянном эффекте масштаба АС является константой, поэтому данное утверждение верно.

Ответ: утверждение верно, так как при данной кривой предло­ жения средние издержки фирмы возрастают с ростом выпуска, а при постоянном эффекте масштаба должны быть постоянной ве­ личиной.

21.1t = TR<QJ- TC<QJ = PQ- (15018Q + Q2) = 250.

В точке оптимума для совершенно конкурентной фирмы выпол­ няется MR = Р =МС.

МС = TC(QJ = 2Q18 1t = Q (2Q18)- 150 + 18Q- Q2 =

=250 Q = 20,

р= 2Q18 = 22.

Ответ: Р = 22, Q = 20.

22. а) Из условия MR = МС, а также из условия, что в рассмат­ риваемой точке значение AVC < МС (т. е. фирма работает на возрас­ тающем участке кривой МС), можно сделать вывод, что совершенно конкурентная фирма производит оптимальный объем выпуска.

1t = TRТС = TRVC- FC = 2400VC- 4000 < О,

следовательно, в долгосрочном периоде фирма при таких условиях покинет отрасль.

мс

AVC

АС

1,2 =MC= P=MRI--+- ---+---,"- 0,4 =AVC

Q* Q

Для вывода о поведении фирмы в краткосрочном периоде срав­ ним значение цены и средних переменных издержек. Так как для совершенно конкурентной фирмы выполнятся равенство Р то Р > AVC (Р = 1,2; AVC = 0,4), следовательно в краткосрочном перио­ де фирма останется в отрасли.

Ь) Р = 30, AVC = 32, МС = 34. В данном случае не выполняется условие оптимума: MR = МС, следовательно, выпуск фирмыне

оптимальный.

Для того, чтобы ответить на вопросоставаться фирме в отрас­ ли или уходить, необходимо сравнивать или значение выручки в точке оптимума со значением переменных издержек, или же размер убытков со значением постоянных издержек, или же значение ры­ ночной цены со значением АС (для принятия решения о поведении

фирмы в долгосрочном периоде) или AVC (в краткосрочном перио­ де, соответственно). Все вышеуказанные сравнения необходимо