Акимов - Решение задач

ежегодная арендная плата будет составлять 3600 долл. (12 • 300); погашение суммы кредита происходит в i-тый год.

Тогда формула NPV будет рассчитываться следующим образом:

Далее, опять же путем математических иреобразований и вы­ числений, получаем NPV = 16 000.

Ответ: а)-с) на покупку стоит согласиться во всех перечислен­ ных случаях и при любой сумме, имеющейся в распоряжении.

Ответ: 300 тыс. р.

1500 45. 10 000 < """"0,1==>10 000 < 15 000 ==>инвестиции выгодны.

10 000 = 1500IRR ==>IRR = 0,15, или IRR = 15%.

Ответ: выгодна, так как IRR = 15% > 10%.

46. Дисконтированный поток доходов от рассматриваемой обли­ гации выглядит следующим образом:

Ответ: не более 4348,48 р.

Пусть (1 + IRR)=х (ОДЗ: (1 + IRR) > О 5х2 - 3х - 4= О

х=1,24339 IRR=0,2434, или IRR=24,34%. Ответ: IRR=0,2434 (24,34%).

100 000 < 150 000 инвестиция выгодна.

Окупаемость проекта характеризуется сроками окупаемости, которые могут исчисляться без учета или с учетом дисконтирования. Сроком окупаемости без дисконта считается продолжительность наименьшего периода, по истечении которого возмещаются перво­ начально сделанные инвестиции. В рамках такого подхода срок оку-

Сроком окупаемости с учетом дисконтирования называется про­ должительность наименьшего периода, по истечении которого NPV проекта становится неотрицательной величиной.

Для его расчета используем формулу суммы первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

b1(qn -1)

s = __.::. n q-1

где Ь1- первое слагаемое геометрической прогрессии, q- знамена­ тель прогрессии.

LN(3)

3=1,1nn= LN(1,1) =11,53.

2

Ответ: выгодна, в зависимости от методики расчета t0к = 63 или 11,53 года.

Пусть (1+ r)= х (ОД3: (1+ r) >О)

10х2- 5х- 8 =О х= 1,1787 r= 0,1787, или r=17,87%.

Ответ: да, поскольку дисконтированный доход от данного скла­ да составит 92 млн ден. ед., что превышает цену в 50 млн ден. ед.

51. Поскольку число лет жизни неизвестно, то при ставке 10% по варианту а) дисконтированный доход составит не более 10 000

1000

ден. ед.: PV < о:1 = 10 000.

По варианту Ь) дисконтированный доход составит:

10 000 < 12965,2 выгоднее второй вариант. Ответ: вариант Ь) предпочтительнее.

52. Дисконтированная сумма арендной платы за использование оборудования составит:

Ответ: Р < 4713,46 ден. ед.

53. Месячная ставка начисления процентов составляет 2%. Со­ ответственно приблизительный расчет срока удвоения суммы мож-

70

но провести с использованием «правила 70»: через 2 месяцев, или

2 года 11 месяцев. Это практически идеально совпадает с расчетом, выполненным по точной формуле.

Ответ: 2 года 11 месяцев.

90 + 1,03·1,02·1,01·1,032 = 610,93.

Ответ: а) 569,23 ден. ед.; Ь) 546,15 ден. ед.; с) 610,93 ден. ед.

55. Дисконтированный поток доходов от рассматриваемой обли­ гации выглядит следующим образом:

Ответ: при i1=5% В1=176,6 ден.ед.; при i2=10% В2=150 ден.ед.

56. По условия JRR первого проекта составляет 25%, тогда:

7000 2000

-6000- Х + 1•25 + 1•5625 =О; Х = 880.

Обозначим через а коэффициент пропорциональности между Х и У, тогда У= аХ.

Определим значение а, при котором проекты будут равноценны при ставке процента 20% годовых:

Ответ: «согласование» должно быть дешевле, чем 1,14 «платы за безопасность•>, или, что то же самое, «затраты на без­ опасность» должны составлять более чем 0,88 «затрат на согласо­ вание».

57. Рассмотрим зависимость суммы нашего дохода и богатства от продолжительности владения:

11 000·1,1 2000

1-й год PV= + -- ;

1,2 1,2

Выгодной сделка будет в том случае, если данная сумма в луч­ шем из периодов превысит начальные вложения (причем этот доход и определит доходность). Найдем значение N, при котором доход максимален:

N • LN [1,1] = LN [1,905];

N = 6,762.

PV(7) = 10 000 + 61,76829,255 =13191,55.

Ответ: вкладывать деньги рационально, это принесет макси­ мальный выигрыш в 2191,55 в текущих единицах стоимости.

58. Дисконтированная стоимость будущего потока доходов от использования данного станка составит:

Ответ: поскольку PV превышает затраты на покупку станка, то в данных условиях фирме выгодно инвестировать 4000 долл. указанным способом.

59. а) При годовой ставке процента в 6% текущая ценность вы­ игранного приза составит:

500 000

PV1 = 500 000 + 1+0,06 = 971 698 р.

по второй схеме. Поэтому предпочтительным для победителя явля­ ется вариант выплаты приза по схеме 2.

Ь) При годовой ставке процента в 24% текущая ценность выиг­ ранного приза составит:

по второй схеме.

Поэтому предпочтительным для победителя является вариант выплаты приза по схеме 1.

Ответ: а) схема 2; Ь) схема 1.

Глава 8

НЕРАВЕНСТВО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДОВ

1. Для построения кривой Лоренца рассчитаем значения точек, через которые она будет проходить.

Так как групп населения 5, следовательно, каждая группа - это 20% от общей численности населения РФ. Для получения координа­ ты по оси У (доход) просуммируем доходы соответствующих групп.

205

Кривые Лоренца, отражающие распределение доходов в России в 1992 и в 2000 гг., показывают усиление перавеяства доходов в этот период. Кривые Лоренца для 2000 и 2004 гг. практически совпада­ ют, это говорит о том, что в 2000-2004 гг. существенных изменений в распределении доходов не наблюдалось. Данные выводы согласуют­ ся со значениями коэффициента Джини, величина которого значи­ тельно увеличивается в период с 1992 по 2000 г. и малозаметно из­ меняется в период с 2000 по 2004 г.: G1992 = 0,3184; G2000 = 0,374; G2004 = 0,3772.

2. а) Суммарный годовой доход работников составляет:

I = 60 + 72 + 120 + 120 = 372 тыс. р., или 100%.

Всего работников 4 человека, следовательно, каждый работник - это 25% от общей численности.

Расположим работников предприятия по мере увеличения уров­ ня дохода:

Минимальный доход получает Маша, 60 тыс. р., или примерно 16,13% от суммарного уровня дохода. Таким образом, первая полу­ ченная точка на кривой Лоренца: 25% работников получают 16,13% суммарного дохода.

При этом не надо забывать, что кривая Лоренца всегда начина­ ется из точки с координатами (0%, 0%), т. е. 0% работников полу­ чают 0% суммарного дохода.

Далее, второй работник, с большим уровнем дохода - Па­ вел. Суммарный доход Маши и Павла, соответственно, равен: 60 +72 = 132 тыс. р., или 35,48% суммарного дохода.

Таким образом, следующая точка кривой Лоренца с координата­ ми: 50% населения получают 35,48% суммарного дохода.

Аналогично 75% населения (Маша, Павел и Дмитрий) будут по-

лучать 67,74% суммарного дохода: 60+72+120 ·100%.

372

100% населения (Маша, Павел, Дмитрий и Максим) будут полу­ чать 100% дохода. Построение графика см. задание N2 1.

Ь) Так как в данном случае все работники уплачивают одинако­ вый процент налога (т. е. в данном случае действует пропорциональ­ ная система налогообложения), то кривая Лоренца не изменит свое­ го положения.

Ответ: а) координаты кривой Лоренца до уплаты налогов (О; 0), (25; 16,13), (50; 35,48), (75; 67,74), (100; 100); Ь) после уплаты

подоходного налога распределение доходов не изменилось.

3. а) Для ответа на первый вопрос можно обойтись и без расчета коэффициентов Джинн. Так как кривые Лоренца в странах пред­ ставлены кусочио-линейными функциями, более равномерное рас­ пределение доходов будет в стране, у которой кривая Лоренца бли­ же к линии абсолютно равномерного распределения дохода.

Посчитаем, какой уровень дохода получают 60% бедного насе­ ления в стране А. Для этого подставим в первое уравнение системы значение Х =60. Соответственно, координата по оси У (доход) равна 15%. Для страны Б 60% населения (Х = 60) получают 40% дохода (У = 40%). Следовательно, доходы в стране Б распределены более равномерно.

Данные рассуждения можно подтвердить расчетом коэффициен­ тов Джинн:

гдеS2площадь фигуры под кривой Лоренца и линией абсолютно

неравномерного распределения дохода;

SАВе - площадь между линией абсолютного равенства и линией абсолютного неравенства.

Для страны А координаты точки излома кривой Лоренца:

(х = 80%; у =20%). Таким образом, для страны А:

Для страны Б координаты точки излома кривой Лоренца: (х = 60%; у =20,6%). Таким образом, для страны Б:

Ответ: а) более равномерно в стране Б; Ь) GA = 0,6 и Gв =0,2.

4. Координата точки перелома кривой Лоренца в данной стране равна: (по оси Х (население) 60%, по оси У (доход) 30%). Соответ­ ственно:

где 82 - площадь фигуры под кривой Лоренца и линией абсолютно

неравномерного распределения дохода;

SАВе - площадь между линией абсолютного равенства и линией абсолютного неравенств.1.

Ответ: G =0,3.

5о Обозначим количество бедного населения Х%о Таким об-

Х=70%,

где 82 - площадь фигуры под кривой Лоренца и линией абсолютно неравномерного распределения дохода;

8АВС - площадь между линией абсолютного равенства и линией

абсолютного неравенства.

Ответ: доля бедных - 70%, доля богатых - 30%.

6. Обозначим доход, получаемый бедной группой населения, Х%. Следовательно, на долю богатых приходится (100- Х)%.

Х= 20%,

где 82 - площадь фигуры под кривой Лоренца и линией абсолютно неравномерного распределения дохода;

8АВе - площадь между линией абсолютного равенства и линией

абсолютного неравенства.

Следовательно, бедная часть населения получает 20% совокуп­ ного дохода, а богатая - соответственно 80%.

Ответ: доля богатых в совокупном доходе составляет 80%.

7.