Задачи к приложению 7

1. По указанному в таблице распределению ущерба в портфеле страховщика определите (с помощью λ-критерия) согласуются ли эти данные с равномерным распределением на отрезке [0,10] на уровне значимости α=0,05.

ущерб, млн.руб.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
частота	10	11	8	9	12	10	13	15	12

Решение.

У нас имеются две гипотезы: Н_о и Н₁.

Н₀: различия между F_э(х) и F(x) несущественны, то есть данные выборки согласуются с равномерным распределением на отрезке [0,10].

Н₁: противоположная гипотезе Н₀.

Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,10], имеет вид:

Заполним таблицу.

• Первые два столбца взяты из условия.

• Числа 3-его столбца получается делением на сумму всех n_i.

• Каждое число 4-го столбца равно сумме числа из этой же строки 3-го столбца и предыдущего числа 4-го столбца.

• Числа 5 и 6 столбца получаются, исходя из формул.

xi	ni	ni/n	Fэ(xi)	F(xi)=0,1xi
1	10	0,10	0,10	0,10	0,00
2	11	0,11	0,21	0,20	0,01
3	8	0,08	0,29	0,30	0,01
4	9	0,09	0,38	0,40	0,02
5	12	0,12	0,50	0,50	0,00
6	10	0,10	0,60	0,60	0,00
7	13	0,13	0,73	0,70	0,03
8	15	0,15	0,88	0,80	0,08
9	12	0,12	1,00	0,90	0,10
Сумма	n=100	-	-	-	-

Выявим наибольшее число последнего столбца = 0,1.

По значению статистики: λ= 0,1*= 1.

По уровню значимости, указанной в условии задачи, из специальной таблицы находим граничную точку λ_α = 1,358.

Так как λ< λ_α (1<1,358); то мы принимаем гипотезу Н₀ на уровне значимости α=0,05. Данные выборки согласуются с равномерным распределением на указанном отрезке [0,10].

2. В таблице указано распределение ущерба в двух портфелях страховых договоров.

Величина ущерба, млн руб.	Число страховых случаев
	Договор 1	Договор 2
0-10	2	4
10-20	11	13
20-30	14	7
30-40	18	23
40-50	13	11
50-60	6	9
60-70	23	18
70-80	14	8
80-90	6	6

На уровне значимости α=0,05 с помощью λ-критерия Колмогорова-Смирнова проверить гипотезу о том, что распределение ущерба в этих двух портфелях одинаково (Н₀).

Решение.

Заполнение таблицы происходит по тому же принципу, что и в предыдущей задаче. Определим наибольшее число в последнем столбце. Это 0,078. Так как ; то статистика λ = 0,078*0,559.

По уровню значимости α=0,05 из специальной таблицы находим граничную точку λ_α = 1,358. Так как λ< λ_α (0,559<1,358); то мы принимаем гипотезу Н₀ на уровне значимости α=0,05. Распределение ущерба в этих двух портфелях одинаково.

xi	n1i	n1i/n1	F1э(xi)	n2i	n2i/n2	F2э(xi)
0-10	2	0,019	0,019	4	0,040	0,040	0,021
10-20	11	0,103	0,122	13	0,131	0,171	0,049
20-30	14	0,131	0,253	7	0,071	0,242	0,011
30-40	18	0,168	0,421	23	0,232	0,474	0,053
40-50	13	0,121	0,542	11	0,111	0,585	0,043
50-60	6	0,056	0,598	9	0,091	0,676	0,078
60-70	23	0,215	0,813	18	0,182	0,858	0,045
70-80	14	0,131	0,944	8	0,081	0,939	0,005
80-90	6	0,056	1,000	6	0,061	1,000	0,000
Сумма	n1=107	-	-	n2=99	-	-	-

3. По указанному в таблице распределению ущерба в портфеле страховщика определите с помощью λ-критерия согласуются ли эти данные с равномерным распределением на отрезке [0,10] на уровне значимости α=0,05.

Ущерб, млн.руб.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	№
Частота	13	15	12	11	8	9	12	10	10	3
	12	14	11	12	8	9	10	8	9	4
	8	9	10	8	9	12	14	11	12	5
	10	8	9	12	8	9	10	8	12	6
	12	8	9	10	9	10	8	9	12	7
	9	10	9	10	8	12	8	9	10	8
	10	9	10	8	9	11	12	8	9	9
	11	12	8	9	10	8	9	12	14	10
	12	9	11	10	9	11	12	8	12	11
	10	8	10	14	9	8	12	11	9	12
	10	8	9	10	9	9	10	8	10	13

4. В таблице указано распределение ущерба в двух портфелях страховых договоров.

На уровне значимости α=0,05 с помощью λ-критерия Колмогорова-Смирнова проверить гипотезу о том, что распределение ущерба в этих двух портфелях одинаково (Н₀).

Величина ущерба, млн руб.	Число страховых случаев
	Договор 1	Договор 2
0-10	3	5
10-20	12	14
20-30	13	6
30-40	19	24
40-50	12	10
50-60	5	10
60-70	22	16
70-80	15	11
80-90	7	7