Закон великих чисел Нерівність Чебишева

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання по абсолютній величині менше додатного числа , визначається нерівністю

Р(|Х–М(X)|<)1–D(Х)/.

98. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що випадкова величина X відхилиться від свого математичного сподівання менш ніж на три середніх квадратичних відхилення.

99.Використовуючи нерівність Чебишева у формі

Р (|Х–М(X)|)D(Х)/,оцінити ймовірність того, що випадкова величина X відхилиться від свого математичного сподівання не менше ніж на два середніх квадратичних відхилення.

100. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що |Х–М(X)|<0,2, якщо D(X)=0,004.

101. Дано: Р (|Х–М(X)|<)0,9 і D(X)=0,009. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити знизу.

102. Пристрій складається з 10 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента за час Т рівна 0,05. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, що відмовили, і середнім числом (математичним сподіванням) відмов за час Т виявиться: а) менше двох;

б) не менше двох.

Розв’язання. а) Позначимо через X дискретну випадкову величину – число елементів, що відмовили, за час Т. Тоді

M(X) = np = 10 0,05 = 0,5;

D(X) = npq = 10 0,05 0,95 = 0,475.

Скористаємося нерівністю Чебишева:Р (|Х–М(X)|<)1–D(Х)/

Підставивши сюди M(X)=0,5; D(X)=0,475, =2, одержимо

Р(|Х–0,5|<2)1–0,475/4=0,88.

б) Події |Х–0,5|<2 і |Х–0,5|2 протилежні, тому сума їх ймовірностей рівна одиниці. Отже, Р(|Х–0,5|2)1–0,88 =0,12.

103. У освітлювальну мережу паралельно підключено 20 ламп. Ймовірність того, що за час Т лампа буде включена, рівна 0,8. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом включених ламп і середнім числом (математичним сподіванням) включених ламп за час Т виявиться: а) менше трьох; б) не менше трьох.

104. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні рівна 1/2. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число X появ події А міститься в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробувань.

Розв’язання. Знайдемо математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини X – числа появ події А в 100 незалежних випробуваннях: М(Х)=np =100*0,5 =50;

D(X)=npq=100*0,5*0,5=25.

Знайдемо максимальну різницю між заданим числом появ події і математичним сподіванням М(X)=50:

=60–50=10.

Скористаємося нерівністю Чебишева у формі

Р(|X–М(X)|<)1–D(Х)/.

Підставляючи М(X)=50, D(X)=25, =10, одержимо

Р(|X–50|<10)1–25/=0,75.

105. Ймовірність появи події в кожному випробуванні рівна 1/4. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число X появ події міститься в межах від 150 до 250, якщо буде проведено 800 випробувань.

106. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу

X 0,3 0,6

p 0,2 0,8

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що

|X–М(X)|<0,2.

Розв’язання. Знайдемо математичне сподівання і дисперсію величини X:

M(X) = 0,3 0,2 + 0,6 0,8 = 0,54;

D(Х) = M(X) – [ M(Х)]= (0,30,2 + 0,60,8) – 0,54= 0,0144.

Скористаємося нерівністю Чебишева у формі

Р(|X–М(X)|<)1–D(Х)/.

Підставляючи М(X)=0,54, D(X =0,0144, = 0,2, остаточно одержимо

Р (|X–0,54|<0,2)1–0,0144/0,04=0,64.

107. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу

X 0,1 0,4 0,6

р 0,2 0,3 0,5

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що

|Х–M(Х)|<.