Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Біноміальний закон та закон розподілу Пуассона

Дискретною називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа. Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна занумерувати. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченним або нескінченним. Законом розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей.

Закон розподілу дискретної випадкової величини X може бути заданий у вигляді таблиці, перший рядок якої містить можливі значення , а другій - ймовірності р_і

Якщо множина можливих значень X нескінченна (зчисленна), то ряд р₁+р₂+…+ р _n +… збігається і його сума дорівнює одиниці. Закон розподілу дискретної випадкової величини X може бути також заданий аналітично за допомогою функції розподілу. Закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити графічно. Для цього точки , , . . . послідовно сполучають відрізками прямих (х_і - можливі значення X, - відповідні ймовірності). Отриману фігуру називають многокутником розподілу .

Біноміальним називають закон розподілу дискретної випадкової величини X-числа появ події в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події рівна р; ймовірність можливого значення Х = k ; (числа k появ події) обчислюють за формулою Бернуллі:

Якщо число випробувань велике, а ймовірність р появи події в кожному випробуванні дуже мала, то використовують наближену формулу

де k - число появ події в n незалежних випробуваннях, (середнє число появ події в n випробуваннях), і говорять, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона.

75. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

X 1 3 6 8

P 0,2 0,1 0,4 0,3

Побудувати многокутник розподілу

76. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу: .

а ) Х 2 4 5 6 б) Х 10 15 20

р 0,3 0,1 0,2 0,4 р 0,1 0,7 0,2

Побудувати многокутник розподілу

77. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елементу у одному досліді рівна 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили, в одному досліді.

Розв’язання. Дискретна випадкова величина X (число елементів які відмовили в одному досліді) має наступні можливі значення: х₁=0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х₂ = l (відмовив один елемент), х₃=2 (відмовили два елементи) і х₄=3 (відмова трьох елементів). Відмови елементів незалежні одна від одної, ймовірності відмови кожного елементу рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі. Враховуючи, що, за умовою, n= 3, р = 0,1 (отже, q= 1-0,1 =0,9), отримаємо:

Контроль : 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.

Напишемо шуканий біноміальний закон розподілу X:

x 0 1 2 3

p 0,729 0,243 0,027 0,001

78. У партії 10% нестандартних деталей. Навмання відібрані чотири деталі. Написати Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини X-числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних і побудувати многокутник отриманого розподілу.

79. Написати Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа появ «герба» при двох підкиданнях монети.

80. У партії з 10 деталей є 8 стандартних. Навмання відібрані дві деталі. Скласти закон розподілу числа стандартних деталей серед відібраних; (Такий закон називається гіпергеометричним)

Розв’язання. Випадкова величина X - число стандартних деталей серед відібраних деталей - має наступні можливі значення: x₁=0;x₂=1;x₃=2 Знайдемо ймовірності можливих значень X за формулою

(N - число деталей в партії, n - число стандартних деталей в партії, m - число відібраних деталей, k-число стандартних деталей серед вибраних) знаходимо:

Складемо закон розподілу

X 0 1 2

P 1/45 16/45 28/45

Контрольна сума 1/45+16/45+28/45=1

81. У партії з шести деталей є чотири стандартних. Навмання відібрані три деталі. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини X - числа стандартних деталей серед відібраних.

82. Ймовірність того, що стрілок влучень в мішень при одному пострілі, дорівнює 0,8. Стрілку видаються патрони до тих пір, поки він не промахнеться. Потрібно: а) скласти закон розподілу дискретної випадкової величини X-числа патронів, виданих стрілку; б) знайти найімовірніше число виданих стрілку патронів.

83. Два бомбардувальника по черзі скидають бомби на ціль до першого влучення. Ймовірність попадання в ціль першим бомбардувальником дорівнює 0,7, другим - 0,8. Спочатку скидає бомбу перший бомбардувальник. Скласти перші чотири члени закону розподілу дискретної випадкової величини X - числа скинутих бомб обома бомбардувальниками (тобто обмежитися можливими значеннями X, рівними 1, 2, 3 і 4).

84. Підручник видано накладом 100 000 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що наклад містить рівно п’ять бракованих книг.

Розв’язання. За умовою, n=1000000; p=0,0001; k=5. Події, що полягає в тому, що книги зброшуровані неправильно, незалежні, число n велике, а ймовірність р, мала, тому скористаємося розподілом Пуассона

Знайдено λ:

Шукана ймовірність

85. Верстат-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться рівно чотири бракованих.

86. Магазин отримав 1000 пляшок мінеральної води. Ймовірність того, що під час перевезення пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003, Знайти ймовірності того, що магазин отримає розбитих пляшок: а) рівно дві; б) менше двох; в) більше двох; г) хоча б одну.

Вказівка. Прийняти = 0,04979.