Рівномірний розподіл

Рівномірним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини X, якщо на інтервалі (а, b), якому належать всі можливі значення X, густина зберігає стале значення, а саме зовні цього інтервалу .

138. Густина рівномірного розподілу зберігає у інтервалі (а, b) стале значення, рівне C; зовні цього інтервалу . Знайти значення сталого параметра C.

139. Ціна поділки шкали амперметра рівна 0,1 А. Покази амперметра заокруглюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблена помилка, що перевищує 0,02 А.

Розв’язання: Похибку округлення відліку можна розглядати як випадкову величину X, яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділками. Густина рівномірного розподілу де - довжина інтервалу, у якому розміщені можливі значення X; зовні цього інтервалу . У даному завданні довжина інтервалу, у якому розміщені можливі значення X, рівна 0,1, тому

. Легко бачити, що помилка відліку перевищить 0,02, якщо вона буде міститися в інтервалі (0,02; 0,08).

За формулою отримаємо:

140. Ціна поділки шкали вимірювального приладу рівна 0,2. Покази приладу заокруглюють до найближчого цілого значення. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблена помилка: а) менша 0,04; б) більша 0,05.

141. Автобуси деякого маршруту йдуть строго за розкладом. Інтервал руху 5 хв. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, чекатиме наступний автобус менше 3 хвилин.

142.Хвилинна стрілка електричного годинника переміщується стрибком в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в дану мить годинник покаже час, який відрізняється від дійсного не більше ніж на 20 секунд.

143. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X_t ,розподіленої рівномірно

в інтервалі (2, 8).

144. Діаметр круга х виміряний наближено, причому Розглядаючи діаметр як випадкову величину X, розподілену рівномірно в інтервалі (α,b ), знайти математичне сподівання і дисперсію площі круга.

Розв’язання: Знайдемо математичне сподівання площі круга — випадкової величини — за формулою

Підставивши, і проінтегрувавши, отримаємо:

2.Знайдемо дисперсію площі круга за формулою:

Підставивши і провівши інтегрування, отримаємо:

_.

_{145. Ребро куба X виміряне наближено, причому α≤ X ≤ b . Розглядаючи ребро куба як випадкову величину X, розподілену рівномірно в інтервалі}

_{(α, b), знайти математичне сподівання і дисперсію об'єму куба.}

Нормальний розподіл

_{Нормальним називають розподіл ймовірності неперервної випадкової величини Х, густина якого має вигляд:}

де α — математичне сподівання,σ— середнє квадратичне відхилення X. Ймовірність того, що X набуде значення, яке належить інтервалу (α, β)

де — функція Лапласа.

Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатного числа σ:

Зокрема, при α= 0 справедлива рівність:

Мода і медіана нормального розподілу відповідно рівні:

де

146. Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини X дорівнює α= 3 і середнє квадратичне відхилення σ= 2. Записати густину ймовірності X.

147. Записати густину ймовірності нормально розподіленої випадкової величини X, якщо M(X) = 3, D(Х) =16.

148. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно рівні 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X набуде значення з інтервалу (12, 14).

Розв'язання: Скористаємося формулою:

Підставивши σ=2, β=14, α=10 і a=12, отримаємо Р(10<X<14)=Ф(2)-Ф(1). За таблицею додатка 2 знаходимо: Ф(2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Шукана ймовірність Р(10<X<14) = 0,1359.

149. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно рівні 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X набуде значення з інтервалу (15, 25).

150. Автомат штампує деталі. Контролюється довжина деталі X, яка розподілена нормально з математичним сподіванням (проектною довжиною), рівним 50 мм. Фактично довжина виготовлених деталей не менше 32 мм і не більше 68 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі: а) більше 55 мм; б) менше 40 мм.

Вказівка: З рівності Р (32 < X < 68) = 1 спочатку знаходимо у.

151. Проводиться вимірювання діаметра валу без систематичних (одного знаку) помилок. Випадкові помилки вимірювання X підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням у = 10мм. Знайти ймовірність того, що вимірювання буде проведене з помилкою, яка не перевершує по абсолютній величині 15 мм.

Розв'язання: Математичне сподівання випадкових помилок дорівнює нулю, тому застосовна формула Р (|X| < δ) = 2Ф(δ/σ). Поклавши δ = 15, σ = 10, знаходимо Р (|X| < 15) = 2Ф(1,5). За таблицею додатка 2 знаходимо Ф(1,5) = =0,4332. Шукана ймовірність

152. Виконується зважування деякої речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням σ= 20 г. Знайти ймовірність того, що зважування буде проведене з помилкою, яка не перевершує по абсолютній величині 10 г.

153. Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням σ= 20 мм і математичним сподівання a= 0. Знайти ймовірність того, що з трьох незалежних вимірів помилка хоч би одного не перевищить по абсолютній величині 4 мм.

154. Автомат виготовляє кульки. Кулька вважається придатною, якщо відхилення X діаметру кульки від проектного розміру по абсолютній величині менше 0,7 мм. Вважаючи, що випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням σ = 0,4 мм, знайти, скільки в середньому буде придатних кульок серед ста виготовлених.

Розв'язання: Оскільки X — відхилення (діаметру кульки від проектного розміру), то М(Х) = a= 0. Скористаємося формулою Р(|Х| <δ ) = 2Ф (δ/σ). Підставивши δ= 0,7, σ= 0,4. отримаємо:

Таким чином, ймовірність того, що відхилення, буде менше 0,7 мм, рівна 0,92. Звідси випливає, що приблизно 92 кульки з 100 виявляться придатними.

155. Деталь, виготовлена автоматом, вважається придатною, якщо відхилення розміру, який контролюється, від проектного не перевищує 10мм. Випадкові відхилення розміру контролюється, від проектного, підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням 5 мм і математичним сподіваннямa = 0. Скільки відсотків придатних деталей виготовляє автомат?

156. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням а = 10. Ймовірність попадання X в інтервал (10, 20) рівна 0,3. Чому дорівнює ймовірність попадання X в інтервал (0, 10)?

157. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням а = 25. Ймовірність попадання X в інтервал (10, 15) рівна 0,2. Чому дорівнює ймовірність попадання X в інтервалі (35, 40)?

158. Довести, що P(|X – a| < t) = 2Ф(t),тобто, що значення подвоєної функції Лапласа при заданому t визначає ймовірність того, що відхилення X–a нормально розподіленої випадкової величини X по абсолютній величині менше t.

159. Випадкова величина X розподілена нормально з математичним сподіванням а = 10 і середнім квадратичним відхиленням =5. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить величина X в результаті випробування.

160. Випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням =5 мм. Знайти довжину інтервала, симетричного відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 потрапить величина X в результаті випробування.

161. Станок-автомат виготовляє циліндри, причому контролюється їх діаметр Х. Вважаючи, що Х – нормально розподілена випадкова величина з математичним сподіванням а=10мм. і середнім квадратичним відхиленням =0,1мм, знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання якому з ймовірністю 0,9973 будуть належати діаметри виготовлених циліндрів.