Формула Бернуллі

Якщо проводяться випробування, при яких ймовірність появу події в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними відносно події. У наступних розділах розглядаються незалежні випробування, в кожному з яких ймовірність появи події однакова.

Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в незалежних випробуваннях, в кожному з яких

ймовірність появи події рівна подія відбудеться рівно раз (байдуже у якій послідовності), дорівнює

або

де

Ймовірність того, що в випробуваннях подія відбудеться: а) менше раз; б) більш раз; в) не менше раз; г) не більш раз, - знаходять відповідно за формулами:

50. Два рівносильні шахісти грають в шахи. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести (нічиї до уваги не приймаються)?

Розв’язання. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу ; отже, ймовірність програшутакож дорівнює 1/2. Оскільки у всіх партіях ймовірність виграшу постійна і байдуже, в якій послідовності будуть виграні партії, то застосовна формула Бернуллі. Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:

.

Знайдемо вірогідність того, що буде виграно три партії з шести:

Оскільки то ймовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три з шести.

51. Монету кидають п’ять раз. Знайти ймовірність того, що «герб» випаде: а) менше двох разів; б) не менше двох разів.

52. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться не менше трьох раз в чотирьох незалежних випробовуваннях, якщо ймовірність появи подіїв одному випробовуванні рівна 0,4;

а) подія В з’явиться у випадку, якщо подія відбудеться не менше чотирьох раз. Знайти ймовірність настання події 5, якщо буде проведено п’ять незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події

Локальна теорема Лапласа

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події рівна р(0 < р < 1), подія відбудеться рівно k раз (все одно, в якій послідовності), приблизно рівна (тим точніше, чим більше n)

Тут

Таблиця функції φ(x) для додатних значень х наведено в додатку 1; для від’ємних значень х користуються цією ж таблицею (функція φ(х) парна, отже, φ (- x)= φ(x) ).

Інтегральна теорема Лапласа

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події рівна (0 < р < 1), подія наступить не менше k₁ раз і не більш k₂ приблизно дорівнює

P(k₁;k₂)=Ф()-Ф()

Тут

- функція Лапласа,

Таблиця функції Лапласа для додатних значень () наведена в додатку 2; для значеньх>5 вважають Ф(х)=0,5. Для від’ємних значень х використовують цю ж таблицю, враховуючи, що функція Лапласа непарна (Ф(-х)=-Ф(х)).

53. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна 0,25.

54. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна 0,6.

55. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі рівна 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде уражена рівно 75 разів.

56. Ймовірність народження хлопчика рівна 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.

57. Монета кинута 2N разів (N велике!). Знайти ймовірність того, що «герб» випаде рівно N разів.

58. Ймовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань стала і рівна р= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 разів

Розв’язок . Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:

де Ф(х)- функція Лапласа,

так як і

а) За умовою, n = 100; р=0,8 ; g=0,2; k₁=75; k₂=90. Обчислимо іх '':

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто Ф (-х) = -Ф (х:), отримаємо

За таблицею у додатку 2 знайдемо:

Шукана ймовірність

59. Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться: а) не менше 1470 і не більше 1500 разів; би) не менше 1470 разів; у) не більше 1469 разів.

60. Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться в більшості випробувань.

61. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань рівна 0,8. Скільки потрібно виконати випробувань, щоб з ймовірність 0,9 можна було очікувати, що подія з’явиться не менше 75 разів?

Розв’язання. За умовою р=0,8; q= 0,2; k₁ = 75; k₂ = n; Р_n = (75,n)=0,9.

Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:

Підставляючи дані завдання, отримаємо

або

Очевидно, число випробувань n > 75, тому

Оскільки функція Лапласа зростає і , то можна покласти Отже,

.

Таким чином,

(*)

За таблицею у додатку 2 знайдемо Ф (1,28)= 0,4. Звідси і співвідношення (*), враховуючи, що функція Лапласа непарна, отримаємо

Розв’язавши це рівняння, як квадратне відносно , отримаємо . Отже, шукане число випробувань n=100.

62. Ймовірність появи позитивного результату в кожному з n дослідів рівна 0,9. Скільки потрібно провести дослідів, щоб з ймовірність 0,98 можна було очікувати, що не менше 150 дослідів дадуть позитивний результат?