Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра вищої математики

Демчик с.П., Сапіліді т.М., Соколовська о.П.

Теорія ймовірностей

і математична статистика

Методичний посібник для самостійної та індивідуальної

роботи студентів

Рівне-2012

Друкується за рішенням Науково-методичної ради Рівненського державного гуманітарного університету (протокол №____ від________2012 р.)

Демчик С.П., Сапіліді Т.М., Соколовська О.П. Теорія ймовірностей і математична статистика. Методичний посібник для самостійної та індивідуальної роботи студентів. –Рівне: РДГУ, 2012. – 133 с.

Рецензенти: Кузьменко А.П.- канд.фізико-матем.наук наук, доцент, зав. кафедри

прикладної математики МЕГУ

Бомба А.Я. – доктор технічних наук, професор кафедри інформатики

та прикладної математики РДГУ

Методичний посібник містить короткий виклад основних теоретичних відомостей з теорії ймовірностей і математичної статистики; приклади розв’язання типових задач та задачі для самостійного розв’язування по кожній темі, а також завдання для двох аудиторних контрольних робіт, двох самостійних і завдання для домашньої контрольної роботи з теми «Випадкові події та випадкові величини».

Методичний посібник призначений для самостійної та індивідуальної роботи студентів математичних, технічних та економічних спеціальностей, які вивчають теорію ймовірностей та математичну статистику.

Класичне та статистичне означення ймовірності

Класичне: ймовірністю події А називається відношення числа сприятливих появ події до загального числа всіх можливих елементарних результатів випробування (при цьому вважається, що елементарні випробування утворюють повну групу та рівноможливі)

При статистичному означенні в якості ймовірності події приймають її відносну частоту

де - число випробувань, в яких подія відбулася, - загальне число проведених випробувань.

1. В ящику є 21 стандартна та 7 нестандартних деталей.

Робітник навмання бере одну з деталей.

Знайти ймовірність того, що взята деталь виявиться стандартною.

Розв’язання. Всього в ящику 21+7=28 деталей, отже ; стандартних деталей 21, тому.

Ймовірність того, що робітник взяв стандартну деталь .

2. Підкинуті два гральних кубика. Знайти ймовірності наступних подій:

–сума очок, що випали, дорівнює семи;

–сума очок, що випали, дорівнює семи, а різниця - трьом;

–сума очок, що випали, дорівнює семи, якщо відомо, що різниця дорівнює трьом.

3. Монета підкинута три рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться герб.

4. Знайти ймовірність того, що при підкиданні трьох гральних кубиків п’ятірка випаде на одному (без різниці, на якому) кубику, якщо на гранях двох інших кубиків випадуть числа очок, що не співпадають між собою і не дорівнюють п’яти.

5. В ящику є 30 деталей, серед яких 20 фарбованих, а решта ні. Робітник навмання бере 5 деталей. Знайти ймовірність того, що всі вони будуть фарбованими.

6.Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стандартними.

7.Протягом зміни приймальник прийняв у ремонт 10 годинників тієї самої марки від 10 різних осіб і перед закінченням зміни навмання розклав їх підряд на круглій полиці. Знайти ймовірність того, що три годинники, які належать певним особам, виявились поруч.

8.Двоє осіб домовились зустрітися в певному місці у проміжку часу від годин, а також про те, що той, хто прийде першим, чекатиме на другого протягом годин. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо кожна особа може прийти в довільний момент часу

9.В ящику є 15 деталей, серед них 10 стандартних. Робітник навмання бере 5 деталей. Знайти ймовірність того, що з них три буде стандартними.

Розв’язання. Загальне число можливих елементарних результатів випробування дорівнює числу комбінацій, якими можна взяти 5 деталей із 15 .Сприятливими результатами будуть ті, при яких робітник візьме 3 стандартні (їх можна взятиспособами) і при цьому решта взятих деталей 2 повинні бути нестандартними (їх можна взяти способами). Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа сприятливих події результатів до числа всіх можливих

10.В магазині є 20 телевізорів, 16 з них зібрані в Україні. За день було куплено 7 телевізорів. Знайти ймовірність того, що 5 з них були зібрані в Україні.

11.В групі є 12 студентів, серед них 8 відмінників. За списком навмання відібрали 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів буде 6 відмінників.

12. В коробці є 7 однакових виробів, причому 5 з них пофарбовані. Навмання взяті 2 вироби. Знайти ймовірність того, що серед відібраних виробів виявиться: а) один фарбований; б) два фарбованих; в) хоча б один фарбований виріб.

13. У партії з 16 деталей чотири нестандартні. Навмання з поверненням беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед них дві деталі будуть стандартними.

14. Для молодіжної вечірки діджей заготував 20 компакт-дисків, 7 з яких з інструментальною музикою. Знайти ймовірність того, що з чотирьох навмання відібраних компактів три будуть з інструментальною музикою.

15. По цілі проведено 30 пострілів, причому зафіксовано 24 влучення. Знайти відносну частоту влучення в ціль.

16. При випробуванні партії приладів відносна частота працюючих виявилася рівною 0,9. Знайти число працюючих приладів, якщо всього було перевірено 400 приладів.